2.
Единицы измерения. Округление чисел. Стандартный вид числа
Единицы длины1 сантиметр (см) = 10 миллиметров (мм)1 дециметр (дм) = 10 сантиметров (см)1 метр (м )= 10 дециметров (дм) = 100 сантиметров (см)1 километр (км) = 1 000 метров (м)Единицы площади1 кв. метр (м2) = 100 кв. дециметров (дм2 ) = 10 000 кв. сантиметров (см2 )1кв. километр (км2 ) = 1 000 000 кв. метров (м2 )1 ар (а) = 100 кв. метров (м2 )1 гектар (га) = 100 ар (а) = 10 000 кв. метров (м2 )Единицы объёма1 литр (л) = 1 (куб. дециметров) дм3 = 1 000 куб. сантиметров (см3 )1 гектолитр (гл) = 100 литров (л)1 куб. дециметр (дм3 ) = 1 000 куб. сантиметров (см3 )1 куб. метр (м3 ) = 1 000 куб. дециметров (дм3 ) = 1 000 000 куб. сантиметров (см3 )Единицы веса1 грамм (г) = 1 000 миллиграммов (мг)1 килограмм (кг) = 1 000 граммов (г)1 центнер (ц) = 100 килограммов (кг)1 тонна (т) = 1 000 килограммов (кг)1 карат (кар) = 2·10-4 кгЕдиницы углов1° = /180 рад (радиан) 0,017453 рад (радиан) ;1 рад (один радиан) = 180/ 57,2958° 57°17’45" ;n рад (радиан) = n · 180/ град (градусов) n · 57,2958 град (градусов)Правила округленияЕсли первая из отбрасываемых цифр больше или равна 5, то последняя из сохраняющихся цифр увеличивается на 1. Если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то последняя из сохраняемых цифр остаётся неизменной.Если число округляют до какого-нибудь разряда, то все следующие за этим разрядом цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают.Стандартным видом положительного числа a называют его представление в виде a = a0·10k, где k — целое число, 1 a0 < 10; число k называют порядком числа a , число a0 — мантиссой.Погрешностью приближения(абсолютной погрешностью) называют модуль разности между точным значением величины х и её приближённым значением а.Если а — приближённое значение числа х и |х — а| h, то говорят, что число х равно числу а с точностью до h, и пишут: х = а ± h.Неравенство |x — а| h можно записать в виде a — h x a + h. Числа a — h и a + h являются приближёнными значениями числа х с недостатком и с избытком соответственно.Относительной погрешностью приближённого значения а называют отношение абсолютной погрешности |х — а| к модулю приближённого значения. Относительную погрешность выражают в процентах Пример 1.Округлить число 57 497 до сотен.1) 58000; 2) 58497; 3) 57500; 4) 60000.Решение.При округлении числа 57497 до сотен следует написать 57500. Действительно, за цифрой 4, обозначающей разряд сотен, следует цифра 9. Следовательно, 4 нужно увеличить на 1, а все цифры, стоящие правее данного разряда, заменить нулями. Из предложенных ответов верным является 3).Ответ: Пример 2.Найдите десятичную дробь, равную 9/750.1) 1,2; 2) 0,12; 3) 0, 012; 4) 0, 0012.Решение.Первую десятичную дробь отбрасываем сразу, т.к. 1,2 > 1.Вторую дробь сократим следующим образом .Аналогично проверим третью дробь:  — это и есть решение.Ответ: Пример 3.Диаметр планеты Юпитер приближённо равен 142600 км. Как эта величина записывается в стандартном виде?1) 1,426 · 104 км; 2) 1,426 · 102 км; 3) 1,426 · 105 км; 4) 1,426 · 106 км.Решение.142600 км = 1,426 · 105 км. Из предложенных ответов верным является 3).Ответ: Пример 4.Площадь Васиной квартиры составляет 65 м2 . Выразить эту площадь в км2.1) 0,0065 км2 ; 2) 0,00065 км2 ; 3) 0,000065 км2 ; 4) 0,0000065 км2.Решение.Знаем, что 1 м = 0,001 км. Возведем обе части в квадрат: 1 м2 = 0,000001 км2.Тогда 65 м2 = 0,000065 км2, что соответствует третьему варианту.Ответ: Пример 5.Толщину одной и той же детали измерили штангенциркулем, микрометром и линейкой. Получили соответственно результаты 2,6 мм, 2,49 мм и 2 мм. Каким инструментом было произведено более точное измерение, если толщина детали равна 2,5 мм?1) штангенциркулем; 2) микрометром; 3) линейкой; 4) всеми инструментами.Решение.Найдём абсолютную погрешность для каждого из приведённых измерений:1) при измерении штангенциркулем: |2,6 — 2,5| = 0,1;2) при измерении микрометром: |2,49 — 2,5| = 0,01;3) при измерении линейкой: |2 — 2,5| = 0,5.Из чисел 0,1; 0,01 и 0,5 наименьшее — 0,01. Следовательно, более точное измерение было произведено микрометром. Из предложенных ответов верным является 2).Ответ: Пример 6.Стоимость автомобиля равняется 200 000 руб. ± 50 000 руб. в зависимости от модификации. Какую цену не может заплатить покупатель при указанном условии?1) 230 000 ; 2) 200 000; 3) 280 000; 4) 180 000.Решение.Пусть х — цена автомобиля. Тогда эта цена с недостатком и избытком может быть представлена в следующем виде:200 000 – 50 000 < х < 200 000 + 50 000; 150 000 < х < 250 000. Из четырех представленных ответов только третий выходит за рамки данной цены.Ответ: Пример 7.Найдите погрешность приближения числа 5/6 десятичной дробью 0,8.1) 1/6 ; 2) 1/30; 3) 0,3; 4) 0,33.Решение.|5/6 — 0,8| = |5/6 — 4/5| = 1/30.Из предложенных ответов верным является 2).Ответ: Пример 8.Стандартный вид числа 0,0000041 имеет представление:1) 0,041·10-4; 2) 0,41·10-5; 3) 4,1·10-6; 4) 41·10-7 .Решение.Мантисса a0 в стандартном виде числа a = a0·10k, где k — целое число имеет значения: 1 a0 < 10. Из вcех предложенных ответов этому условию удовлетворяет третий ответ.Ответ: Пример 9.Пусть a — приближённое значение числа b. Найдите относительную погрешность, если a = 14,7 и b = 14,724.1) 8/49%; 2) -0,024%; 3) 0,24%; 4) -8/49%.Решение.Из предложенных ответов верным является 1).Ответ: Пример 10.Абсолютная погрешность измерений, сделанных с помощью весов, не более 1,6 г. Взвесили сахар. Весы показали 550 г. Какую массу в действительности не может иметь этот сахар?1) 551 г ; 2) 551,7 г; 3) 548, 7 г; 4) 550 г.Решение.Приближённые значения массы сахара Х с недостатком и с избытком соответственно: 550 — 1,6 Х 550 + 1,6; 548,4 Х 551,6. Этому условию не удовлетворяет только второй вариант.Ответ: Пример 11.Температура t воздуха в холодильной камере 7,5°С. В качестве приближенного значения взято число 7°С. Найдите абсолютную погрешность приближения.Решение.|7,5 — 7| = 0,5.Ответ: Пример 12.Найти сумму целых чисел, между которыми заключено число .1) 27; 2) 25; 3) 13; 4) 29.Решение.Пусть Х и У — целые числа, между которыми заключено число .Х < < У. Возведем в квадрат все части неравенства: Х2 < 176 < У2. Заметим, что169 < 176 < 196, где 169 = 132, 196 = 142. Таким образом, 13 < < 14. Тогда сумма этих чисел 13 + 14 = 27 соответствует первому варианту ответов.Ответ: Пример 13.Пусть х = 12,7 ± 0,2. Из чисел: А = 12,91; Б = 12,95; В = 12,5014; Г = 12,52.выберите те, которые может принимать число х.1) А, В ; 2) А, Б ; 3) Б, В ; 4) В, Г.Решение.Запись х = 12,7 ± 0,2 означает, что х равно 12,7 с точностью до 0,2, то есть 12,7 - 0,2 < х < 12,7 + 0,2. Отсюда 12,5 х 12,9. Полученному неравенству удовлетворяют только числа В и Г. Из предложенных ответов верным является 4).Ответ: Пример 14.На сайте прогноза погоды говорится, что влажность воздуха составит завтра 70 ± 15%. Какой влажности воздуха по прогнозу завтра не будет?1) 70% ; 2) 55%; 3) 85%; 4) 90%.Решение.Пусть Х — данная влажность воздуха. Тогда 70 – 15 < Х < 70 + 15. То есть55 < Х < 85. В данный промежуток не попадает четвертый вариант.Ответ: Пример 15.Укажите приближённое значение числа b, равное среднему арифметическому приближений с недостатком и с избытком,если 5,8 b 6,4. Решение.Числа 5,8 и 6,4 являются приближёнными значениями числа b с недостатком и с избытком соответственно. Среднее арифметическое этих чисел равно .Ответ: Пример 16.На рисунке изображен график функции У = Н(Х). Используя график, сравните значения Н(- 3,5) и Н(3,5).1) Н(- 3,5) < Н(3,5); 2) Н(- 3,5) > Н(3,5); 3) Н(- 3,5) = Н(3,5); 4) другой ответРешение.Н(- 3,5) > 0, а Н(3,5) < 0. Поэтому Н(- 3,5) > Н(3,5), что соответствует второму варианту.Ответ:  Видеолекция «Единицы измерения. Округление чисел. Стандартный вид числа»: