4.
Алгебраические выражения. Область допустимых значений
Алгебраическим выражением называется совокупность конечного количества чисел, обозначенных буквами или цифрами, соединенных между собой знаками алгебраических действий и знаками последовательности этих действий (скобками).Алгебраическое выражение, в котором указаны только действия сложения, вычитания, умножения и возведения в степень с натуральным показателем, называют целым рациональным выражением. Если в знаменателе выражения есть переменные, то выражение называют дробно-рациональным.Целые и дробно-рациональные выражения вместе называются рациональными.Числовым значением алгебраического выражения при заданных числовых значениях букв называют тот результат, который получится после замены букв их числовыми значениями и выполнения указанных в выражении действий.Областью допустимых значений (ОДЗ) алгебраического выражения называют множество всех допустимых совокупностей значений букв, входящих в это выражение.Множество всех допустимых значений переменных называют областью определения алгебраического выражения.Пример 1.Найти значение выражения: при a = 0,12.1) 1,1 ; 2) 2; 3) - 8,8; 4)0Решение.Подставим в заданное выражение a = 0,12.Получим 1,2 – 5 ·0,12:6 = 1,2 – 5 ·0,02 = 1,2 – 0,1 = 1,1.Ответ: Пример 2.Из формулы второго закона Ньютона a =F/m выразить силу F.1) F = a/m; 2) F = m/a; 3) F = ma; 4) F = Fm/a.Решение.Умножив обе части заданного равенства на m, получим ma = Fm/a.Отсюда F = maОтвет: Пример 3.Расстояние S(t) в метрах, которое автомобиль проезжает за t секунд, вычисляется по формуле S(t) = 2t2 + 5. За сколько секунд автомобиль проедет 55м?1) 25; 2) 5; 3) 15; 4) 10.Решение.Согласно условию, необходимо найти время t, за которое автомобиль пройдет путь S(t) = 2t2 + 5 = 55. Следовательно, t2 = 25.Отсюда, учитывая, что t > 0, находим t = 5.Ответ: Пример 4.Соотнесите площадь заштрихованной фигуры с соответствующей формулой.1) х2/2; 2) х2 – ху + у2 ; 3) х2 + у; 4) ху – у2Решение.Найдем площадь каждой из фигур. На рисунке А площадь можно найти как разность площади квадрата со стороной х и прямоугольника со сторонами у и х - у. Эта площадь х2 – у(х – у) = х2 – ху + у2 соответствует формуле 2).Площадь заштрихованной фигуры, изображенной на рисунке Б, можно найти как половину площади квадрата со стороной х. Эта площадь х2/2 соответствует формуле 1).На рисунке В площадь найдем как площадь прямоугольника со сторонами у и х - у. Эта площадь у(х – у) = ху – у2 соответствует формуле 4).Ответ: Пример 5.Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле , где S — площадь треугольника, a — сторона треугольника. Во сколько раз площадь правильного треугольника будет больше при a = 6, чем при a = 3?1) 9; 2) 2; 3) 3; 4) 4.Решение.Пусть S1 — площадь треугольника со стороной a1 = 6, S2 — площадь треугольника со стороной a = 3. Тогда найдем отношение .Ответ: Пример 6.Из равенства выразить b.1) b = 3a; 2) b = 2a – 1/3; 3) b = 1,8a; 4) b = 9a.Решение..Ответ: Пример 7.Турист прошел 2 км пешком и проехал на автобусе часов со скоростью 50 км/ч. Какой путь проделал турист?1) S = 2t +50; 2) S = 2 + 50t; 3) S = 2 + t/50; 4) S = (t + 2)·50.Решение.Общий путь S, который преодолел турист, складывается из пути, который он проделал пешком — 2 км, и пути, который он проехал на автобусе — 50t . Следовательно, S = 2 + 50t .Ответ: Пример 8.У Оли х открыток, у Тани у открыток, у Кати z открыток. Когда Оля и Катя сложили свои открытки вместе, оказалось, что их в 2 раза больше, чем у Тани. Какое из буквенных выражений, представленных ниже, соответствует описанному условию?1) x – y =2z ; 2) x + z = 2y; 3) 2x – y = z; 4) 2z – x = y.Решение.Согласно условию задачи, у Оли и Кати всего x + z открыток, что в 2 раза больше у — числа открыток Тани. То есть x + z = 2y.Ответ: Пример 9.Турист прошел из точки М А км, а потом прошел В км в обратном направлении, после чего в первоначальном направлении он прошел расстояние в 1,5 раза большее, чем весь пройденный до этого путь, и остановился в точке К. Выберите верное равенство.Решение.Нарисуем схему задачи:Сначала турист прошел расстояние МН = А км, затем вернулся в точку Т, пройдя НТ = В км. Заметим, что МТ = А – В км. После этого турист прошел расстояние в 1,5 раза большее, чем весь путь (А + В) км. Таким образом, МК = А – В + 1,5(А + В), что соответствует второму варианту ответов.Ответ: Пример 10.А и В — цифры от 0 до 9, причем В > А. Выразите М через А и В, если М — трехзначное число, цифры которого в порядке убывания разрядов равны А, В и В – А соответственно. Какое из буквенных выражений, представленных ниже, соответствует условию задачи?Решение.По условию в порядке убывания разрядов цифры числа М имеют следующий вид: на первом месте А, на втором — В, на третьем — В – А. Тогда трехзначное число запишем так М = 100А + 10В + (В – А), что соответствует первому варианту.Ответ: Пример 11.Даны выражения: ; ; .Какие из выражений не имеют смысла при b = — 6?1) А, В; 2) только Б; 3) Б, В; 4) только В.Решение.Каждое из предложенных выражений не имеет смысла в случае, когда знаменатель дроби, входящей в выражение, обращается в ноль. При b = — 6 в ноль обращается знаменатель в выражениях Б и В. Следовательно, из предложенных ответов верным является 3).Ответ: Пример 12.Из выражений: a) ; b) ; c) ; d) выберите те, которые имеют смысл при любом значении n.1) b ; 2) а, b; 3) b, d; 4) b, с.Решение.Выражение а) не имеет смысла при n= 0; выражение b) имеет смысл при любых значениях n; выражение с) не имеет смысла при n = — 2; выражение d) не имеет смысла при n = 0. Следовательно, из предложенных ответов верным является 1).Ответ: Пример 13.Укажите все значения с, при которых выражение не имеет смысла.1) 3; 2) 0, 3; 3) 1; 4) 0, 1.Решение.Заданное выражение не имеет смысла, когда с(с — 1) = 0, то есть с = 0 или с = 1.Из предложенных ответов верным является 4).Ответ: Пример 14.Какая пара чисел является недопустимой для дроби ?1) (— 2;1); 2) (2; — 1); 3)(— 1/2;1); 4)(1/2;1).Решение.Для данной дроби недопустимыми являются числа, при которых знаменатель дроби обращается в 0. Подставляя в выражение 2х — у соответствующие значения из предложенных пар чисел, получаем, что только при х =1/2 и у = 1 выражение не имеет смысла. Из предложенных ответов верным является 4).Ответ: Пример 15.При каких значениях х дробь не имеет смысла?Решение.Дробь не имеет смысла, когда её знаменатель равен нулю. Следовательно, заданное выражение не имеет смысла при х = —6 и х = 6.Ответ: Пример 16.Найдите все допустимые значения у для дроби .1) у 2; 2) у 3; 3) у = 2; у — 1; 4) у 0; у — 1.Решение.Допустимыми значениями у является всё множество R за исключением тех значений у, при которых знаменатель дроби обращается в 0. Из уравнения находим у = 2. Следовательно, данное выражение имеет смысл при у 2. Из предложенных ответов верным является 1).Ответ: Пример 17.Найдите числа, при которых знаменатель дроби равен 0.1) 0 ; 2) — 3 ; 3) 3 ; 4) таких чисел нет.Решение.Решим уравнение х2 + 6х + 9 = 0; (х + 3)2 = 0; х = — 3. Из предложенных ответов верным является 2).Ответ: Пример 18.Соотнесите каждое выражение с областью его определения.1) х 2; 2) любое число; 3) х 8, х 0; 4) х 0, х 2.Решение.Областью определения выражения А) является множество R за исключением значений х, при которых х2 — 8х = 0. Следовательно, выражение определено при х 8 и х 0, что соответствует ответу 3).Областью определения выражения Б) является всё множество R (знаменатель данного выражения всегда положителен), что соответствует ответу 2).Областью определения выражения В) является множество R за исключением значений х, при которых знаменатель 4х — 8 = 0. Следовательно, выражение определено при х 2, что соответствует ответу 1).Ответ: Пример 19.Из равенства выразить m.Решение.Итак, верный ответ 4).Ответ:  Видеолекция «Алгебраические выражения. Область допустимых значений»: