7.
Алгебраические дроби. Преобразования рациональных выражений
Действия с дробями(предполагается, что знаменатели дробей отличны от нуля)
  1. Сложение дробей:
  2. Вычитание дробей:
  3. Умножение дробей:
  4. Деление дробей:
  5. Перестановка членов пропорции: ; ; ;
  6. Основное свойство дроби:
  7. Возведение дроби в степень: .
Алгебраическим выражением называется выражение, составленное из конечного числа букв и чисел, соединенных знаками действий сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень и извлечение корня.Рациональным выражением (алгебраической дробью) называют выражение, в знаменателе которого есть переменные (переменная), иначе выражение является целым.Тождественные преобразования дробно-рациональных выраженийПри выполнении тождественных преобразований алгебраических выражений необходимо знать порядок выполнения действий, действия с дробями и степенными выражениями, формулы сокращенного умножения и др.Порядок выполнения действий:При тождественных преобразованиях область допустимых значений каждой из буквенных величин остается неизменной.То есть при выполнении тождественных преобразований таких выражений надо следить за областью определения выражения, т.к. может происходить расширение области определения. Это может произойти, например, при сокращении дроби.Пример 1.Сократить дробь: Решение.Так область определения дроби все числа, кроме х ≠ 1 и х ≠ -2.Вместе с тем .Сократив дробь, получим .Область определения полученной дроби: х ≠ -2, т.е. шире, чем область определения первоначальной дроби.Поэтому дроби и равны при х ≠ 1 и х ≠ -2.Ответ: Изменение области определения выражения возможно и в результате некоторых других преобразований, поэтому, выполнив преобразования выражения, нужно всегда уметь ответить на вопрос, на каком множестве оно тождественно полученному.Пример 2.Сократить дробь: .Решение.Область определения: все числа, кроме a ≠ -b.Чтобы сократить дробь, разложим числитель на множители:1-й способ: В числителе прибавим и вычтем одночлен ab:2 + ab — b2 = 2a2 + ab — ab + ab — b2 = (2a2 + 2ab) + (-ab — b2) = 2a(a + b) — b(a + b)2 + ab — b2 = (a + b)(2a — b).2-й способ: Выпишем отдельно числитель и разделим его на b2 и разложим на множители, полученный при этом квадратный трехчлен:. После замены t = a/b получим . Используя второе следствие теоремы Виета корни этого трехчлена -1 и ½.Тогда . Сделав обратную замену t = a/b, получим 2 + ab — b2 = (a + b)(2a — b).Сократим дробь: .Ответ: Пример 3.Сократить дробь: Ответ: Пример 4.Упростить: Ответ: Пример 5.Упростить: Ответ: Пример 6.Упростить: Ответ: Пример 7.Упростить: Ответ: Пример 8.Упростить: Ответ: Пример 9.Доказать тождество:Доказать тождество — значит установить, что при всех допустимых значениях переменных его левая и правая части представляют собой тождественно равные выражения. В алгебре тождества доказывают различными способами:Какой способ выбрать — зависит от конкретного вида тождества, которое вам предлагается доказать. В данном примере целесообразно выбрать первый способ.Для преобразования рациональных выражений принят тот же порядок действий, что и для преобразования числовых выражений. Это значит, что сначала выполняют действия в скобках, затем действия второй ступени (умножение, деление, возведение в степень), затем действия первой ступени (сложение, вычитание).Решение.Как видите, нам удалось преобразовать левую часть проверяемого тождества к виду правой части. Это значит, что тождество доказано. Однако напомним, что тождество справедливо лишь для допустимых значений переменных. Таковыми в данном примере являются любые значения a и b, кроме тех, которые обращают знаменатели дробей в нуль. Значит, допустимыми являются любые пары чисел (a; b), кроме тех, при которых выполняется хотя бы одно из равенств:2a — b = 0, 2a + b = 0, b = 0.Пример 10.Доказать тождество:Решение.Ответ: Пример 11.Вместо Q подставьте такой одночлен, чтобы равенство оказалось тождеством: . Выберите правильный вариант ответа:1) ; 2) -1; 3) х; 4) 1Решение.Ответ: Пример 12.Упростить выражение:Решение.Область определения выражения: а2 + 3а + 2 ≠ 0, а2 + 4а + 3 ≠ 0, а2 + 5а + 6 ≠ 0.Используя второе следствие теоремы Виета, найдем значения а, при которых трехчлены обращаются в нуль:а2 + 3а + 2 = 0 при а1 = -2, а2 = -1а2 + 4а + 3 = 0 при а1 = -3, а2 = -1а2 + 5а + 6 = 0 при а1 = -3, а2 = -2Таким образом, область определения выражения — все числа, кроме а ≠ -2, а ≠ -1, а ≠ -3Разложим трехчлены на множители:а2 + 3а + 2 = (а + 2)(а + 1)а2 + 4а + 3 = (а + 3)(а + 1)а2 + 5а + 6 = (а + 3)(а + 2)Тогда общий знаменатель скобки равен: (а + 2)(а + 3)(а + 1).Ответ: Пример 13.Упростить выражение Решение.Область определения: ;Итак, область определения х ≠ 0, у ≠ 0, х ≠ у, х ≠ -у.Приведем дроби, стоящие в скобках к общему знаменателю и воспользуемся формулами сокращенного умножения..Ответ: Пример 14.Упростить выражениеРешение.Найдем область определения выражения:Таким образом, область определения: а ≠ 0, b ≠ 0, с ≠ 0, b ≠ -с.Приведем дроби, стоящие в числителе и знаменателе первой дроби, а также сумму, стоящую в скобках, к общим знаменателямПо правилу деления дробей приведем четырехэтажную дробь к двухэтажной. В числителе второй дроби выделим полный квадрат суммы b и сЧислитель второй дроби, воспользовавшись формулой разности квадратов, разложим на множителиОтвет: Пример 15.Упростить выражение и найти его значение при у = 7/11, х = 5/11.1) 1; 2) 35/121; 3) 1,4; 4) 5/7Решение.Область определения выражения:Первые два выражения, как сумма трех неотрицательных слагаемых равны нулю только при х = 0 и у = 0.Рассмотрим третье выражениетогда когда . Отсюда имеем х ≠ 0, у ≠ 0.Т.о. область определения все числа, кроме х ≠ 0, у ≠ 0.Разложим на множители числитель и знаменатель второй дроби, используя второе следствие теоремы Виета:4 + 7х2 у2 + 4у4 = 3(х2 — у2)(х2 — 4у2/3) = (х2 — у2)(3х2 — 4у2)4 + 7х2 у2 + 3у4 = 4(х2 — у2)(х2 — 3у2/4) = (х2 — у2)(4х2 — 3у2).Подставим значения у = 7/11, х = 11/5, получим: 7/11 : 5/11 = 7/5 = 1,4.Ответ: Пример 16.Упростить выражение и найти его значение при a = -5, 675; b = 1,35, c = -7,2. Выберите правильный вариант ответа:1) -3,25; 2) 1,25; 3) 1; 4) 0Решение.Область определения: Приведем дроби к общему знаменателю (b — c)(c — a)(a — b) и воспользуемся формулами сокращенного умножения..Ответ: Пример 17.Пользуясь теоремой Виета, вычислить: , где х1 и х2 — корни уравнения .Решение.Преобразуем исходное выражение в дробь . Числитель данного выражения может быть разложен, как сумма кубов двух выражений: . Выполним тождественные преобразования:Воспользуемся теоремой Виета: , и . Поэтому, имеем:.Ответ: Пример 18.Упростите выражениеРешение.Ответ: Пример 19.Упростите выражениеРешение.Ответ:  Видеолекция «Алгебраические дроби. Преобразования рациональных выражений»: