8.
Арифметический корень
Арифметический корень n-ой степениЕсли a ≥ 0 и n — натуральное число большее 1, то существует только одно неотрицательное число x такое, что выполняется равенство xn = a. Это число х называется арифметическим корнемn-ой степени из неотрицательного числа а и обозначается .Пример 1.Если n — нечетное натуральное число большее 1 и а < 0, то под понимают такое отрицательное число х, что .Пример 2.Вычислить .Из определения следует, что если в алгебраическом выражении есть корни четной степени, то подкоренные выражения таких корней должны быть неотрицательными, что учитывается при определении области определения алгебраического выражения.Пример 3.Найти область определения .Область определения выражения x2 — 1 ≥ 0, (x — 1)(x + 1) ≥ 0, x ≥ 1, x ≤ -1.Свойства арифметического корняЕсли n — натуральное число, a ≥ 0, b ≥ 0, то:Замечание 1. Если a < 0 и b < 0 и ab > 0, то свойства 1° и 2° принимают видЗамечание 2. Если показатели корней нечетные числа, то свойства 1°, 2° выполняются для a < 0 или b < 0 и ab < 0.Пример 4.Из чисел выберите наибольшее.1) 4; 2) ; 3) ; 4) Решение..Очевидно, что , поэтому верный ответ 3.Ответ: Пример 5.Вычислить: .1) 0,3; 2) 0,5; 3) -0,3; 4) -0,5Решение.Ответ: Пример 6.Упростить выражение: 1) ; 2) 12; 3) ; 4) Решение.Ответ: Пример 7.Сократить дробь , если 1) ; 2) ; 3) 8 + t 4) Решение..Ответ: Пример 8.Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби Решение.В знаменателе имеем иррациональность 2-й степени, поэтому помножим и числитель, и знаменатель дроби на сопряженное выражение, то есть сумму чисел и , тогда в знаменателе будем иметь разность квадратов, которая и ликвидирует иррациональность.Ответ: Пример 9.Упростите, исключив иррациональность знаменателя .1) ; 2) 1; 3) ; 4) -1Решение.Ответ: Пример 10.Вычислить: .1) ; 2) ; 3) ; 4) Решение., т.к. , то .Ответ: Пример 11.Упростить выражение: Решение.Используя свойства арифметического корня, упростим каждый из имеющихся радикалов:Ответ: Пример 12.Упростить выражение Решение.Выражение упростится, если окажется, что под этим корнем содержится полный квадрат разности или суммы каких-нибудь чисел.Представим в виде полного квадрата. Для этого представимтогда Итак, По свойству 3° имеем Т.к. , то , тогда по определению модуля Ответ: Пример 13.Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби Решение.Имеем иррациональность 3-й степени, поэтому и числитель, и знаменатель умножим на неполный квадрат суммы чисел и 1, тогда в знаменателе получим разность кубов, которая и ликвидирует иррациональность.Ответ: Пример 14.Упростить выражение, где a ≥ 0, b > 0.Решение.Приведем дроби, стоящие под знаками корня к общему знаменателюВ числителе первой дроби стоит полный квадрат суммы, а в числителе второй дроби — полный квадрат разности и b: Воспользуемся свойством арифметического корняТак как и , то , а значит ..Так как может быть как отрицательным, так и положительным, рассмотрим два случая:В этом случае иОтвет:  Видеолекция «Арифметический корень»: