10.
Графики элементарных функций
  1. Линейная функция f(x) = kx + b. График — прямая линия.
      1) Область определения D(f) = R.2) Область значений E(f) = R.3) Нули функции у = 0 при x = -k / b.4) Экстремумов нет.5) Монотонность: функция монотонно возрастает при k > 0 и убывает при k < 0.6) Четность: при b = 0 прямая линия проходит через начало координат, при этом функция y = kx — нечетная.7) Промежутки знакопостоянства: зависят от знака параметра k:
      • k > 0, то y > 0 при x > 0; y < 0 при x < 0;
      • k < 0, то y > 0 при x < 0; y < 0 при x > 0.
  2. Квадратичная функция f(x) = ах2 + bх + с, а ≠ 0. График — парабола.
      a) Функция y = ах2.
        1) Область определения D(f) = R2) Вершина параболы (0; 0)3) Нули функции x = 04)Экстремумы: если a < 0, то минимум в вершине, если a > 0, то максимум в вершине5) Область значений E(f) = [0; +∞) при a > 0; E(f) = (-∞; 0] при a < 06) Четность: четная
      b) Функция y = ах2 + bх + с
        1) Область определения D(f) = R2) Вершина параболы (x0; y0); 3) Нули функции:
        • при
        • при нулей нет
        4) Экстремумы: если a < 0, то минимум в вершине, если a > 0, то максимум в вершине5) Область значений E(f) = [у0; +∞) при a > 0 E(f) = -∞; у0] при a < 06) Четность: ни четная, ни нечетная
  3. Дробно-линейная функция вида  — частный случай дробно-рациональной функции. График дробно-линейной функции — гипербола.
  4. Обратная пропорциональность  — это частный случай дробно-линейной функции. График — гипербола.
      1) Область определения D(f)=(-∞; 0) U (0; +∞).2) Область значений Е(f)=(-∞; 0) U (0; +∞).3) Четность: нечетная4) Монотонность: Функция монотонно убывает при k > 0 и возрастает при k < 0.5) Промежутки знакопостоянства: зависят от знака параметра k:
      • k > 0, то y > 0 при x > 0; y < 0 при x < 0;
      • k < 0, то y > 0 при x < 0; y < 0 при x > 0.
      6) Нулей функции нет.7) Экстремумов нет.
  5. Иррациональные функции вида
      а) Функция
        1) Область определения D(f) = R2) Область значений E(f) = R3) Четность: нечетная4) Монотонность: функция монотонно возрастает на D(f).5) Промежутки знакопостоянства: y > 0 на D(f).6) Нули функции х = 0.7) Экстремумов нет.
      б) Функция
        1) Область определения D(f) = [0; +∞)2) Область значений E(f) = [0; +∞)3) Четность: ни четная, ни нечетная.4) Монотонность: Функция монотонно возрастает на D(f).5) Промежутки знакопостоянства:
        • х > 0, то y > 0; y < 0 при x < 0;
        • х < 0, то y > 0; y < 0 при x > 0.
        6) Нули функции х = 0.7) Экстремумов нет.
Преобразования графиков функцийПреобразования графиков функций — это линейные преобразования функции y = f(x) или её аргумента x к виду y = af(kx + b) + m.По графику функции y = f(x), можно построить график функции y = af(kx + b) + m.

Общий вид функции

Преобразования

y = f ( x  — b )

Параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс на | b | единиц

•  вправо, если b > 0;

•  влево, если b < 0.

y = f ( x + b )

•  влево, если b > 0;

•  вправо, если b < 0.

y = f ( x ) + m

Параллельный перенос графика вдоль оси ординат на | m | единиц

•  вверх, если m > 0,

•  вниз, если m < 0.

Отражение графика

y = f ( — x )

Симметричное отражение графика относительно оси ординат.

y = — f ( x )

Симметричное отражение графика относительно оси абсцисс.

Сжатие и растяжение графика

y = f ( kx )

•  При k > 1 — сжатие графика к оси ординат в k раз,

•  при 0 < k < 1 — растяжение графика от оси ординат в k раз.

y = kf ( x )

•  При k > 1 — растяжение графика от оси абсцисс в k раз,

•  при 0 < k < 1 — сжатие графика к оси абсцисс в k раз.

Преобразования графика с модулем

y = | f ( x ) |

•  При f ( x ) > 0 — график остаётся без изменений,

•  при f ( x ) < 0 — график симметрично отражается относительно оси абсцисс.

y = f (| x | )

•  При x ? 0 — график остаётся без изменений,

•  при x < 0 — график симметрично отражается относительно оси ординат.

Пример 1.Найти значение р, при котором точка А(р; 2р + 3) принадлежит графику функции f(x) = х2 — 4х + 12.1) 3; 2) 2; 3) -1; 4) 0Решение.1-й способ: Подставим в формулу функции координаты точки А: х = р, у = 2р + 3 и решим относительно р уравнение:2р + 3 = р2 — 4р + 12; р2 — 6р + 9 = 0; (р — 3)2 = 0, откуда р = 3.2-й способ: Для каждого из четырех случаев проверим равенство:Из представленных четырех ответов подходит первый.Ответ: Пример 2.Из функций у = 3х2; у = 2х5; у = х4 + 1; у = (х — 1)3 выберите нечетную.1) у = 3х2; 2) у = 2х5; 3)у = х4 +1; 4) у = (х — 1)3Решение.Проверим четность по определению:Ответ: Пример 3.Функция задана формулой: f(x) = х3 — 4х + 1. Найдите f(-2).1) 1; 2) 17; 3) 3; 4) 12Решение.f(-2) = (-2)3 — 4(-2) + 1 = -8 + 8 + 1 = 1.Из представленных четырех ответов подходит первый.Ответ: Пример 4.График какой из перечисленных функций изображен на рисунке?Решение.На рисунке изображен график квадратичной функции, полученный сдвигом графика у = х2 на единицу вправо вдоль оси ОХ, т.е. у = (х — 1)2 или у = х2 — 2х + 1.Из представленных четырех ответов подходит четвертый.Ответ: Пример 5.Найти координаты точек пересечения графика функции с осью абсцисс.1) (0; 1); 2) (1; 0); 3) (1/3; 0 ); 4) (0; 1/3)Решение.Точку пересечения графика функции с осью абсцисс найдем из условия у = 0: ; ; х — 3 = -2; х = 1. Тогда .Из представленных четырех ответов подходит второй.Ответ: Пример 6.По графику функции, представленной на рисунке, найти все значения х, при которых значения функции положительны.
    1) А = (-2; +∞), Б = (-∞; +∞), В = (-∞; 0)2) А = (-∞; +∞), Б = (-2; +∞), В = (-∞; 0)3) А = (-2; +∞), Б = (-∞; 0), В = (- 2; +∞)4) А = (-∞; +∞), Б =(-∞; 0), В = (-2; +∞)
Решение.
Задача сводится к нахождению х, при которых у > 0.Для случая А: у > 0 при х > 2. Для случая Б: у > 0 при любом значении х.Для случая В: у > 0 при х < 0. Из представленных четырех ответов подходит первый.Ответ: Пример 7.Соотнесите функции А) у = х2 + 1; ; с их графиками, изображенными на рисунке.
    1) А = 2; Б = 2; В = 32) А = 3; Б = 1; В = 43) А = 2; Б = 4; В = 34) А = 4; Б = 2; В = 3
Решение.
Итак, правильный ответ А = 2; Б = 4; В = 3 (под номером 3).Ответ: Пример 8.Найти множество значений функции 1) [-1; +∞); 2) [3; +∞); 3) [-3; +∞); 4) [1; +∞).Решение. — это график функции, полученный сдвигом графика функции на единицу влево вдоль оси ОХ. Область значений данной функции . Тогда  — это график функции, полученный сдвигом графика последней функции на три единицы вниз вдоль оси ОУ. То есть область значений функции  — это интервал Е(у) = [-3; +∞).Из представленных четырех ответов подходит третий.Ответ: Пример 9.Найти множество значений функции .1) [1/3; +∞); 2) (0; 1/3]; 3) [0; 3); 4) [0; +∞)Решение.Так как Е(х2) = [0; +∞), то Е(х2 + 3) = [3; +∞). Так как обратная пропорциональность — непрерывная и убывающая функция на этом промежутке, большему значению аргумента будет соответствовать меньшее значение функции. При стремлении аргумента этой функции к +∞ значение самой функции стремится к нулю:Е (1/(х2 + 3)) = (0; 1/3]. Из представленных четырех ответов подходит второй.Ответ: Пример 10.Найти множество значений функции .1) [3; +∞); 2) [0; +∞); 3) ; 4) Решение.Е(х2) = [0; +∞), Е(х2 + 3) = [3; +∞). Так как функция непрерывна и возрастает на этом промежутке, то .Из представленных четырех ответов подходит четвертый.Ответ: Пример 11.Найти наименьшее значение функции 1) 0; 2) 1; 3) 3; 4) -1Решение.Разность принимает наименьшее значение при наибольшем значении вычитаемого. Дробь принимает наибольшее значение при наименьшем значении знаменателя. Получаем, что данная функция принимает наименьшее значение при наименьшем значении выражения , находящегося в знаменателе дроби.Итак, наименьшее значение знаменателя равно 1. Тогда функция принимает значение, равное -1.Из представленных четырех ответов подходит четвертый.Ответ: Построение графиков вида , и Пример 12.Построить график функции .Решение.Построим квадратичную параболу у = х2 — 6х + 5. Ту часть графика, где у < 0 зеркально отобразим относительно оси ОХ.Для построения графика функции cтроим график функции для и отображаем симметрично относительно оси .Пример 13.Построить график функции .Решение.Построим квадратичную параболу у = х2 — 6х + 5. Ту часть графика, где х > 0 зеркально отобразим относительно оси ОУ.Для построения графика функции строим график функции для и симметрично отображаем относительно оси .Пример 14.Построить график функции .Ответ: Пример 15.График какой функции, из перечисленных, изображен на рисунке?
    1) y = -|x — 2| — x + 3; 2) y = -|x + 2| — x — 1;3) y = -| x + 2|+ x + 3; 4) y = |x + 2| + x + 1.
Решение.
Раскроем по определению модуля скобки, тогда получим следующие уравнения:Очевидно, что графику удовлетворяет уравнение под номером 1.Ответ: Пример 16.График какой функции, из перечисленных ниже, изображен на рисунке?
    1) y = |x + 2| + |x — 1| — 22) y = |x — 2| + |x + 1| + 23) y = -|x + 2| + |x — 1| + 24) y = -|x + 2| — |x — 1| — 2
Решение.
Раскроем по определению модуля скобки, тогда получим следующие уравнения:Очевидно, что графику удовлетворяет уравнение под номером 1.Ответ:  Видеолекция «Графики элементарных функций»: