11.
Линейные, квадратные и рациональные уравнения
Линейное уравнение ax + b = 0Решение ax + b = 0, где a, b — некоторые числа, х — переменная:Квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0, a 0Формулы корней квадратного уравнения

, дискриминант

Среди действительных чисел корней нет 
Формулы корней приведенного квадратного уравнения

, дискриминант

Среди действительных чисел корней нет 
Теорема Виета. В приведенном квадратном уравнении сумма корней равна коэффициенту при , взятому с противоположным знаком, а их произведение — свободному члену:Если задано квадратное уравнение в общем виде: , то делением уравнения на можно свести к приведенному, где , Следствия теоремы ВиетаРазложение квадратного трехчлена на множители, где х1 и х2 корни уравнения .Рациональные уравнения Решение рационального уравнения P(x)/Q(x) = 0, где P(x) и Q(x) — многочлены, сводится к решению системы: Способы решения рациональных уравнений:Этапы решения рационального уравнения:Пример 1.Решить уравнение .Решение.Заметим, что данное уравнение является линейным. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель 4, получим:10 – 2х + 4 = 3х – 1; 5х = 15; х = 3.Ответ: .Пример 2. Решить уравнение 2 – 12х + 1 = 4х - 2 - 2х2.Решение.Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные, получим:2 – 16х + 3 = 0.Используем способ решения квадратного уравнения, описанный в теме «Многочлены»:По теореме, обратной к теореме Виета:х1х2 = 5·3 = 15х1 + х2 = 16Подбором получим: 1 = 15; 2 = 1, тогда х1 = 15/5 = 3; х2 = 1/5 = 0,2.Ответ: .Пример 3. При каком значении с уравнение (с + 5)х2 + (2с + 10)х + 4 = 0 имеет только один корень?Решение.Квадратное уравнение имеет единственное решение, если его дискриминант равен нулю:По 2-му следствию теоремы Виета корни уравнения с2 + 6с + 5 = 0: с1 = –1; с2 = –5.Ответ: Пример 4.При каких значениях х сумма дробей равна 5?
    1) – 6; 52) –5; 63) –3; 14) –6; –5
Решение.
Задача сводится к решению уравнения: при условии х 3.Умножим обе части на общий знаменатель (х – 3)(х + 3), получим:(2х – 2)(х – 3) + (х + 3)2 = 5(х2 – 9) 2 – 8х + 6 + х2 + 6х + 9 = 5х2 – 45 2 + 2х – 60 = 0 х2 + х – 30 = 0 х1 = – 6; х2 = 5.Ответ: Пример 5.При каких значениях с один корень уравнения 2 – 6х + 1 – с = 0 на 10 больше другого?Решение.По теореме Виета должны выполняться условия: Ответ: Пример 6.Найти сумму корней уравнения 2 + 2х – 3 = 0.Решение.По теореме Виета: х1 + х2 = -2/8 = -0,25.Ответ: Пример 7.Составьте приведенное квадратное уравнение, корни которого равны соответственно х1 = -7, х2 = -1.
    1) х2 + 8х + 7 = 02) х2 – 8х + 7 = 03) х2 – 8х – 7 = 04) х2 + 8х – 7 = 0
Решение.
Приведенное квадратное уравнение имеет вид: По формулам Виета р = -х1 + х2) = -(-7 + (-1)) = 8; q = х1 · х2 = (-7)·(-1) = 7.Значит, х2 + 8х + 7 = 0 — искомое уравнение, ему соответствует ответ № 1.Ответ: Пример 8.Решить уравнение .Решение.Уравнение имеет решения при: х -2, х -1, х 1, х 4.Раскрыв скобки в знаменателях, получаем уравнение:.Замена: х2 + 3х + 2 = t, тогда получим уравнение .Умножив обе части уравнения на общий знаменатель t(t – 6), получим при t 0 и t 6:6(t – 6) + 8t = t(t – 6); 14t – 36 = t2 – 6t; t2 – 20t + 36 = 0.По теореме, обратной к теореме Виета, t1 = 2, t2 = 18.Обратная замена:
х2 + 3х + 2 = 2 или х2 + 3х + 2 = 18.
х2 + 3х = 0 или х2 + 3х - 16 =0.
х1 = -3, х2 = 0 или х3,4 = 0,5(-3± ).
Ответ: Пример 9.Решить уравнение .Решение.Уравнение имеет решения при: х 0, х 3 ± 32.Прибавим к числителю второй дроби выражение 2х - 2х, тождественно равное нулю: , .Замена: , тогда получим уравнение: .Решив первое уравнение системы, используя 2-е следствие теоремы Виета, получаем корни t1 = -1, t2 = 2.Обратная замена:Ответ: Пример 10.Решить уравнение .Решение.Разложим на множители знаменатели дробей левой части уравнения. Для этого, используя теорему Виета, найдем корни квадратных уравнений:х2 – 14х + 24 = 0; х1 = 2, х2 = 12.х2 – 16х + 48 = 0; х3 = 4, х4 = 12.х – 4 = 0; х = 4.Следовательно, уравнение имеет решения при: х 2, х 4, х 12.х2 – 14х + 24 = (х – 2)(х – 12),х2 – 16х + 48 = (х – 4)(х – 12),Общий знаменатель равен (х – 2)(х – 4)(х – 12). Умножим на него обе части равенства:5(х – 4 ) – 4(х – 2) = х2 – 14х + 24;х2 – 15х + 36 = 0;х1 = 3, х2 = 12 – посторонний корень (не входит в ОДЗ).Ответ: Пример 11.Решить уравнение .Решение.Уравнение имеет решения при: х -5.Если записать уравнение в виде , то можно заметить, что его левая часть содержит две взаимно обратные дроби. Введем новое неизвестное: , тогда , и уравнение для t выглядит так: или при  0: t2 - 5t + 4 = 0. Отсюда t1 = 1, t2 = 4. — нет решений.Ответ: Пример 12.Решить уравнение .Решение.Уравнение имеет решения при: х -2, х 0, х -1.Раскроем скобки в знаменателях дробей левой части уравнения: .Замена: t = x2 + 2x и решим уравнение при: Упрощая, получим: 11t2 – 13t – 60 = 0, t1 = 3, t2 = (оба значения входят в ОДЗ).Обратная замена:
  1. х2 + 2х = 3, х2 + 2х – 3 = 0, х1 = 1, х2 = –3.
  2.  — решений нет.
Ответ:  Видеолекция «Линейные, квадратные и рациональные уравнения»: