13.
Неравенства с одной переменной. Системы неравенств
Решением неравенства с одной переменной называется множество значений переменных, которые обращает его в верное числовое равенство.Неравенства, множества решений которых совпадают, называются равносильными.Областью определения неравенства с одной переменной называется множество значений переменной, при которых обе части неравенства имеют смысл.Из данного неравенства получается равносильное ему неравенство, если:Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы. Множеством решений системы является пересечение множеств решений неравенств, входящих в эту систему.Решение неравенств методом интервалов.Будем понимать метод интервалов, как метод, применяемых для решения неравенств строго определенного вида:, где ;  — любой из знаков неравенства > , < , , .Если данное неравенство не соответствует указанному виду, то его необходимо привести к этому виду с помощью равносильных преобразований, и лишь затем применять метод интервалов.Введем ещё два термина. Пусть  — множитель, входящий в неравенство. Если показатель степени ?i — нечетное число, то точку х = хi будем называть простой. Если показатель степени ?i — четное число, то точку х = хi будем называть двойной.Алгоритм метода интервалов.Пример 1.На координатной прямой отмечено число с. Расположите в порядке возрастания числа с; 1/с; с2.
    1) 1/с; с; с2;2) с2; с; 1/с;3) 1/с; с2; с;4) с; 1/с; с2.
Решение.
Согласно рисунку, 0 < с < 1, отсюда с2 < с и 1/с > 1. Значит, с2 < с < 1/с.Из предложенных ответов верным является 2).Ответ: Пример 2.Какое из приведенных ниже неравенств не следует из неравенства х – у < z?
    1) x – z – y < 0;2) y > x – z;3) y < z – x;4) z + y > x.
Решение.
Преобразуем каждое из перечисленных неравенств, перенося неизвестные х и у в левую часть неравенства, а z — в правую.Ответ: Пример 3.Для каждого неравенства указать множество его решений.
    А) -3х2 > 0Б) -3х2 В) -3х2 < Г) -3х2 
Множество решений:
    1) нет решений 2) (-?; +?) 3) 04) (-?; 0) U (0; +?)
Решение.
Изобразим график функции у = -3х2.Ответ: Пример 4. Решить неравенство: (х – 6)2 > (x – 4)2.Решение.Перенесем все слагаемые в левую часть и разложим ее на множители, используя формулу разности квадратов:(х – 6 + х – 4)(х – 6 – х + 4) > 0,(2x – 10)(-2) > 0 |: (-4),х – 5 < 0, х < 5.Следовательно, решением неравенства является интервал (-?; 5).Ответ: Пример 5.Решить неравенство: 2 – 6х + 8)(х2 – 11х + 28) < 0.Решение.После разложения на множители получаем:(х – 2)(х – 4)2(х – 7) < 0.х = 4 — кратный корень, потому что (x – 4)2 > 0 и при x < 4, и при x > 4. Поэтому на интервалах, разделенных точкой 4, левая часть неравенства будет иметь одинаковые знаки, а точки 2 и 7 разделяют интервалы с разными знаками левой части. При х = 0 левая часть неравенства положительна, следовательно, знаки распределяются так:Ответ: Пример 6. Решить неравенство: -2(х + 5)3(4 - 3х)(6 - х)2(2х + 7)х5(3 + х) > 0.Решение.Приведем данное неравенство к виду стандартному для решения методом интервалов:-2(-1)(х + 5)3(3х - 4)(х - 6)2(2х + 7)х5(х + 3) > 0,(x + 5)3(3x - 4)(x - 6)2(2x + 7)x5(x + 3) > 0,3*2(x + 5)3(x - )(x - 6)2(x + )x5(x + 3) > 0,(x + 5)3(x - )(x - 6)2(x + )x5(x + 3) > 0.Построим разбиение числовой прямой на промежутки:Замечание. Масштаб в данном случае соблюдать необязательно, но отдельные принципиальные детали, относящиеся к уровню общей графической культуры, соблюдать, конечно, следует. Расставим знаки в промежутках, используя правило чередования: Из рисунка видно решение неравенства: Ответ: Пример 7.Найти наибольшее целочисленное решение неравенства:
    1) 6,2) 5,3) -4,4) 0.
Решение.
Нестрогие неравенства подобного рода лучше представить в виде совокупности уравнения и строгого неравенства:Решим это неравенство методом интервалов, учитывая то, что х = -3 — корень четной кратности:Итак, решение неравенства: Объединяя оба случая, получаем окончательное решение: Следовательно, наибольшее целочисленное решение — число 6 (ответ №1).Ответ: Пример 8.Решить неравенство: х(х - 1)(х2 - 1)(х3 - 1)(х4 - 1) 0.Решение.Раскроем скобки; имеем:х(х - 1)(х - 1)(х + 1)(х - 1)(х2 + х + 1)(х - 1)(х + 1)(х2 + 1) 0,х(х - 1)4(х + 1)22 + х + 1)(х2 + 1) 0Так как х2 + х + 1 > 0 при всех х и х2 + 1 > 0 при всех х, то получаем неравенство вида, стандартного для решения методом интервалов и равносильное исходному неравенству: х(х - 1)4(х + 1)2  0.Построим разбиение числовой прямой на промежутки и расставим знаки по правилу чередования:Таким образом, решение неравенства: Ответ: Решение дробно-рациональных неравенствЭтапы решения дробно-рациональных неравенств:Метод интервалов можно применять и для решения дробных рациональных неравенств, если воспользоваться равносильными преобразованиями вида:Пример 9.Решить неравенство: Решение.Данное неравенство равносильно системе:Приведем первое неравенство системы к виду, стандартному для решения методом интервалов:(х - 3)(х + 3)(х + 3)(х - 7)(х - 3)(х - 7)(4 - х)(4 + х) 0,(х - 3)(х + 3)(х + 3)(х - 7)(х - 3)(х - 7)(х - 4)(4 + х) 0,(х - 3)2(х + 3)2(х - 7)2(х - 4)(х + 4) 0.Построим разбиение числовой прямой на промежутки, учитывая второе неравенство системы, то есть, что х 3, х 7, х  ± 4, и расставим знаки по правилу чередования:Решение неравенства: Ответ: Пример 10. Решить неравенство: .Решение.Выполним последовательно пункты приведенной «инструкции»:В ответе укажем промежутки, на которых дробь отрицательна. Не забудем учесть, что корни знаменателя в ответ никогда не входят (знаменатель не может равняться нулю), а корни числителя войдут в ответ, если неравенство нестрогое.Ответ: Пример 11.Решить неравенство: Решение.Выполним тождественные преобразования:Корень числителя (х = -4) — кратный, так как при этом значении х ни один множитель не меняет знак. Корни знаменателя: х = -5 и х = -1. При х = 0 дробь положительна. Знаки на интервалах:Заметим, что неравенство нестрогое, поэтому точка –4 входит в ответ.Ответ: Пример 12.Определить количество целочисленных решений неравенства
    1) 02) 1 3) 2 4) 3
Решение.
Перенесем -1 в левую часть неравенства и приведем левую часть к общему знаменателю:Найдем корни числителя и знаменателя и применим метод интервалов: —корни числителя; —корни знаменателя.Определим знак дроби, стоящей в левой части неравенства, на интервалах, разделенных полученными точками:Итак, решение неравенства — объединение интервалов Оно содержит только одно целое число: -3. Поэтому правильным ответом является ответ 2.Ответ: Замечание. Если для решения неравенства используется замена переменной, то важно не сделать раньше времени обратную замену. Сначала нужно полностью решить неравенство для вспомогательного неизвестного, найти его возможные значения (записав их не в интервальной форме, а в виде одного или нескольких неравенств), и только после этого подставить в эти неравенства выражение для вспомогательного неизвестного.Пример 13.Решить неравенство: Решение.Сделаем замену: t = x2!!!!! – 7x + 17 и решим неравенствоЕго решение можно записать так: После обратной замены получим: . Дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части, отрицателен, следовательно, левая часть неравенства не может изменить знак, то есть сохраняет постоянный знак при любом значении х. Неравенство решений не имеет, т.к. у = х2 – 7х + 21 — парабола, с ветвями, направленными вверх, лежащая выше оси ОХ..Первое неравенство верно всегда, т.к. D < 0 и у = х2 – 7х + 17 — парабола, с ветвями, направленными вверх, лежащая выше оси ОХ.х2 – 7х + 12 0 (х – 3)(х – 4) 0 Это и есть окончательный ответ.Ответ: Пример 14.Для каждой системы неравенств указать множество ее решений.
    1) (-?; ] 2) [-8,5; 5]3) (-1; ) 4) (-?; -1)U(; ?)
Решение.
Заметим, что имеем дело с системами линейных неравенств. Решим каждую систему неравенств отдельно.Этой системе соответствует решение 2).Этой системе соответствует решение 1).Этой системе соответствует решение 3).Ответ: 

А
2

Б
1

В
3

 Видеолекция «Неравенства с одной переменной и системы неравенств»: