14.
Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений
Многочленом степени n называется многочлен видаPn(x) = a0xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an,где a0, a1, ..., an-1, an — заданные числа, a0  0, , a0xn — старший член многочлена, n — степень многочлена, an — свободный член многочлена.Алгебраическим уравнением n-й степени называется уравнение видаa0xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an = 0Теорема Безу. Если уравнение a0xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an = 0 с целыми коэффициентами a0, a1, ... , an-1, an, где an  0, имеет целый корень, то этот корень является делителем числа an (свободного члена уравнения).Пример 1.х3 + 4х2 – х – 4 = 0.Решение.Преобразуем левую часть уравнения:х3 + 4х2 – х – 4 = х2(х + 4) – (х + 4) = (х2 – 1)(х + 4).Тем самым уравнение приведено к виду 2 – 1)(х + 4) = 0, откуда х1 = 1, х2 = -1, х3 = -4.Ответ: .Замечание. Если группировка не получается, можно попытаться найти хотя бы один корень подбором, а затем разделить левую часть уравнения на разность х – х0, где х0 — найденный корень. Напомним, что в уравнении с целыми коэффициентами все целочисленные корни являются делителями свободного члена.Пример 2.Решить уравнение х3 – 4х2 + х + 6 = 0.Решение.1-й способ:Рациональные корни уравнения найдем среди делителей свободного члена, равного 6: ± 1; ± 2; ± 3; ± 6.Проверим являются ли они делителями по схеме Горнера.

 

1

-4

1

6

 

-1

1

-5

6

0

корень

1

1

-3

-2

4

не корень

-2

1

-6

13

-20

не корень

2

1

-2

-3

0

корень

-3

1

-7

22

-60

не корень

3

1

-1

-2

0

корень

-6

1

-10

61

...

не корень

6

1

2

13

...

не корень

Итак, х3 – 4х2 + х + 6 =(х + 1)(х – 2)(х – 3) = 0 при х = -1, х = 2, х = 3.2-й способ:Один из корней можно подобрать (или угадать), например, при х = 2:23 – 4·22 + 2 + 6 = 0.Выполним деление:х3 – 4х2 + х + 6 = (x – 2)(х2 – 2х – 3) = 0, причем корни уравнения х2 – 2х – 3 = 0 по 2-му следствию теоремы Виета х1 = -1; х2 = 3.Ответ: Пример 3.Найти рациональные корни уравнения 4 + х3 – 6х2 + х + 2 = 0.Решение.Рациональные корни уравнения найдем среди делителей свободного члена, равного 2: ± 1; ± 2.Проверим, являются ли они корнями по схеме Горнера.

 

2

1

-6

1

2

 

-1

2

-1

-5

6

-4

не корень

1

2

3

-3

-2

0

корень

-2

2

-3

0

1

0

корень

2

2

5

4

9

20

не корень

2x2 – x – 1 = 2(x – 1)(x + ).Итак, 4 + х3 – 6х2 + х + 2 = 2(х + 2)(х – 1)2(х + ) = 0 при х = -2; х = 1; х = .Ответ: .Пример 4.х3 + 8х2 + 19х + 12 = 0.Решение.Выпишем все делители числа 12: ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12. Очевидно, что уравнение не может иметь положительных корней, так как при подстановке вместо х любого положительного числа левая часть примет положительное значение. Поэтому начнем поиск корней с числа –1 и убедимся по схеме Горнера, что оно при подстановке в уравнение обращает его в верное равенство.Итак, х1 = -1 — корень, найденный подбором. Разделим «уголком» левую часть уравнения на х – 1:3 + 8х2 + 19х + 12 ):(х – 1) = (х2 + 7х + 12).Следовательно, уравнение можно записать в виде: (х – 1)(х2 + 7х + 12) = 0, откуда х2 = -3, х3 = -4.Ответ: Пример 5.Сократить дробь: .Решение.Ответ: Пример 6.Решить систему уравнений Решение.1-й способ:При х = 2, у = , z = 4.При х = –2, у = –, z = –4.2-й способ:Перемножив уравнения, получим: x2 y2 z2 = 16; xyz = ± 4.Ответ: Пример 7.Решить уравнение Решение.Область допустимых значений неизвестного задается условием х 0.Умножим обе части равенства на х: и разложим левую часть полученного уравнения на множители:Ответ: Пример 8.Решить уравнение Решение.Принимая во внимание тождество перепишем данное уравнение в виде Замена: , имеем: 4t2 + 12t – 55 = 0, t1 = -5,5; t2 = 2,5.Обратная замена: , .. Используя теорему, обратную к теореме Виета, получимОтвет: Пример 9.Решить уравнение (х + 3)4 + (х + 5)4 = 16.Решение.Полагая, что , получим: (t – 1)4 + (t + 1)4 = 16.Воспользуемся формулой:± b)4 = а4 ± 3b + 6a2b2 ± 4ab3 + b4.t4 – 4t3 + 6t2 – 4t + 1 + t4 + 4t3 + 6t2 + 4t + 1 = 16,2t4 + 12t2 – 14 = 0|:2 — это биквадратное уравнение, решается заменой t2 = р. Корни квадратного уравнения р2 + 6р – 7 = 0; t1, 2 = 1; -7.Обратная замена: х + 4 = 1 х1 = -3; х + 4 = –7 х2 = –11.Ответ: Пример 10.Решить уравнение .Решение.Левая часть уравнения представляет собой сумму квадратов. Для решения уравнения, удобно превратить её в полный квадрат, добавив к обеим частям уравнения соответствующее удвоенное произведение:
Замена: , получим по теореме, обратной к теореме Виета, корни уравнения t2 + 6t – 27 = 0, t1 = –9, t2 = 3.Обратная замена:Ответ: Замечание. Метод введения новой переменной иногда называют методом замены переменной. Это не совсем правомерно. Введение новой переменной в уравнение отнюдь не предполагает обязательное исчезновение из уравнения старой переменной.Пример 11.Решить уравнение 2 + х + 4)2 + 8х(х2 + х + 4) + 15х2 = 0.Решение.Замена: х2 + х + 4 = t. Получим: t2 + 8xt + 15x2 = 0.Решив это уравнение как квадратное относительно t; получаем: Обратная замена: Ответ: Замечание. Другой особый случай использования метода введения новой переменной — введение нескольких новых неизвестных. В этом случае решение исходного уравнения сводится к решению системы уравнений относительно новых неизвестных.Пример 12. Решить уравнение (2 – х)5 + (х – 3)5 + 1 = 0.Решение.Пусть х0 — корень уравнения. Пусть u = 2 – x0 и v = х0 – 3, тогда имеем систему уравнений:Воспользуемся формулойu5 + v5 = (u + v)(u4 + u3v + u2v2 – uv3 + v4) == (u + v)(u4 + v4 – uv(u2 + v2) + u2v2) == (u+v)((u2 + v2)2 – 2u2v2 – uv(u2 + v2) + u2v2) == (u+v)(((u+v)2 – 2uv)2 – 2u2v2 – uv((u + v)2 – 2uv) + u2v2) =(u+v)(((u + v)2 – 2uv)2 – uv(u + v)2 + u2v2).Итак, u5 + v5 = (u+v)(((u + v)2 – 2uv)2 – uv(u + v)2 + u2v2).Учитывая, что u + v = -1, из второго уравнения системы получаем:(1 – 2uv)2 – uv + u2v2 = 1;5(uv)2 – 5uv = 0;5uv(uv – 1) = 0 uv = 1 или uv = 0.Для нахождения u и v имеем две системы уравнений:Тогда u1 = 0, при v1 = -1 и u2 = -1 при v2 = 0.Обратная замена:u1 = 2 – х0 = 0 х0 = 2 или u2 = 2 – х0 = –1 х0 = 3;v1 = х0 – 3 = –1 х0 = 2 или v1 = х0 – 3 = 0 х0 = 3.Итак, корни исходного уравнения: х1 = 2, х2 = 3.Ответ: Пример 13.Решение.Зададим ОДЗ: откуда х = ± 4.Чтобы найти наименьший общий знаменатель трех дробей, разложим на множители второй и третий знаменатели:Тогда наименьший общий знаменатель имеет вид: (х – 4)(х + 4)(х2 – 4х + 16).Умножим обе части уравнения на найденный общий знаменатель. Равенство при этом не нарушится, так как при условии, что х = ± 4, то есть в рамках ОДЗ, общий знаменатель не равен 0.После этого решим уравнение После упрощения получаем: х2 + 12х + 32 = 0.Корни этого уравнения: х1 = -8 и х2 = -4, но число -4 не входит в ОДЗ. С учетом этого оказывается, что уравнение имеет единственное решение: х = 8.Ответ: Пример 14..Решение.ОДЗ: х 0, х 3.Обратим внимание на то, что дробь, стоящая во втором слагаемом, равна произведению дробей, возводимых в квадрат в первом и третьем слагаемых, и введем две новые неизвестные: и . Они должны удовлетворять уравнению:u2 – 7uv + 6v2 = 0.Это однородное уравнение второй степени. Поскольку v 0 (так как х 3), можно разделить обе части равенства на v2: .Пусть , тогда t2 – 7t + 6 = 0, t1 = 1, t2 = 6.Ответ: Замечание. Замена переменной — очень удобный способ решения уравнений (и не только рациональных). Конечно, подходящую замену нужно «увидеть», а для этого необходимо накапливать опыт — только он поможет вам быстро найти наиболее удачный вид нового неизвестного.Отдельный вид уравнений, которые можно с помощью замены свести к квадратному, — так называемые возвратные уравнения, а именно уравнения вида:ax4 + bx3 + cx2 + dx + f = 0,где числа a, b, d и f не равны нулю и выполняется равенство: .Пример 15. 4 – 13х3 – 57х2 – 39х + 54 = 0.Решение.Убедимся, что перед нами возвратное уравнение: .Так как х = 0 не является решением уравнения, разделим обе его части на х2: и перегруппируем слагаемые так: .Пусть . Тогда , следовательно, , и для t получаем уравнение: 6(t2 – 6) – 13t – 57 = 0, или 6t2 – 13t – 93 = 0, откуда t1 = -3, t2 = . — решений нет..Ответ:  Видеолекция «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений»: