15.
Уравнения и неравенства с модулем
Модуль действительного числа — это абсолютная величина этого числа. Проще говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак. Обозначается |a|.Например, |6| = 6, |-3| = 3, |-10,45| = 10,45.Определение модуляСвойства модуляГеометрический смысл модуляМодуль числа  — это расстояние от нуля до данного числа.Например, |-5| = 5. То есть расстояние от точки -5 до нуля равно 5.Рассмотрим простейшее уравнение |x| = 3. Мы видим, что на числовой прямой есть две точки, расстояние от которых до нуля равно трём. Это точки 3 и -3. Значит, у уравнения |x| = 3 есть два решения: x = 3 и x = -3.Геометрический смысл модуля разности величин — это расстояние между ними. Например, геометрический смысл выражения |x – a| — длина отрезка координатной оси, соединяющего точки с абсциссами х и а.Пример 1.Решить уравнение: |x - 3| = 4.Решение.Это уравнение можно прочитать так: расстояние от точки х до точки 3 равно 4. С помощью графического метода можно определить, что уравнение имеет два решения: -1 и 7.Ответ: Пример 2.Решить неравенство: |x + 7| < 4.Решение.Можно прочитать как: расстояние от точки х до точки –7 меньше четырёх.Ответ: Пример 3.Решить неравенство: |10 — x| 7.Решение.Расстояние от точки 10 до точки х больше или равно семи.Ответ: Замечание. Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких выкладок.Пример 4.Решить уравнение: |x – 1| + |x – 2| = 1.Решение.Будем рассуждать следующим образом: исходя из геометрической интерпретации модуля, левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний от некоторой точки с абсциссой х до двух фиксированных точек с абсциссами 1 и 2. Тогда очевидно, что все точки с абсциссами из отрезка [1; 2] обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезка — нет. Отсюда ответ: множество решений уравнения есть отрезок [1; 2] .Ответ: .Пример 5.Решить уравнение: |x – 1| – |x – 2| = 1.Решение.Рассуждая аналогично, получим, что разность расстояний до точек с абсциссами 1 и 2 равна единице только для точек, расположенных на координатной оси правее числа 2. Тогда ответ — луч [2; + ∞).Ответ: Пример 6.Решить неравенство |x + 1| + |x - 1| > 2 .Решение.Изобразим на координатной прямой точки, сумма расстояний от которых до точек –1 и 1 в точности равна 2. Это все точки отрезка [-1; 1]. Очевидно, что для всех чисел вне данного отрезка сумма расстояний будет больше двух, откуда ответ: (-∞; -1) (1; +∞).Ответ: Замечание. Обобщением решения вышеприведенных уравнений являются следующие равносильные переходы:
|x – a| + |x – b| = b – a, b a, a x b|x – a| – |x – b| = b – a, b a, x b
Уравнения с модулемПример 7.Решить уравнение: 2|x + 2| + |x - 3| = 7 - 2x.Решение.Найдем корни подмодульных выражений: х + 2 = 0, х = -2; х – 3 = 0, х = 3. Полученные числа разбивают числовую прямую на 3 промежутка: (-∞; -2), [-2; 3), [3; +∞),на каждом из которых оба подмодульных выражения не обращаются в 0 и, соответственно, сохраняют постоянный знак. Следовательно, на каждом из найденных промежутков можно заменить модули либо подмодульными выражениями, либо выражениями, противоположными им, и свести задачу к решению обычных линейных уравнений, равносильных исходному уравнению на каждом из рассматриваемых интервалов:Ответ: Пример 8.Решить уравнение: |x – 1| + |x – 3| = 2|x – 2|.Решение.Знаки подмодульных выражений на интервалах числовой прямой распределяются так:Решим уравнение на каждом промежутке:Ответ: Пример 9.Решить уравнение: x2 – 6x + 6 + |x – 6| = 0.Решение.Рассмотрим две возможности.Ответ: Пример 10.Решим уравнение: .Решение.Запишем уравнение несколько иначе: или Поскольку , то имеем уравнение Положим , тогда t2 – 3t + 2 = 0. Так как t1 = 1 и t2 = 2, то имеем совокупность уравнений: Очевидно, что х = 0 и х = -2 (это корни первого уравнения совокупности); х = 1 и х = -3 (это корни второго уравнения совокупности). Таким образом, корни данного уравнения х1 = -3, х2 = -2, х3 = 0 и х2 = 1.Ответ: Замечание. Процесс решения можно сократить в том случае, когда неизвестное входит только в подмодульное выражение. При этом обычно нет надобности исследовать знак этого выражения, так как его значение ограничивается конкретными числами.Пример 11. Решить уравнение |x2 + 2x – 16| = 8.Решение.Выражение, модуль которого равен 8, может принимать только два значения: 8 и –8.x2 + 2x – 16 = 8, x2 + 2x – 24 = 0, х1 = - 6, х2 = 4.x + 2x – 16 = -8, x2 + 2x – 8 = 0, х3 = -4, х4 = 2.Отметим, что при таком способе решения не требуется проверка корней, так как среди них не может быть посторонних — при каждом из найденных значений х модуль выражения x2 + 2x – 16 равен 8.Ответ: Пример 12.Решить уравнение: |x2 – 3x + 3| = |2x – 3|.Решение.Равенство |a| = |b| верно в двух случаях: a = b или a = -b. Применим это утверждение к решению уравнения:x2 – 3x + 3 = 2x – 3, х2 – 5х + 6 = 0, х1 = 2, х2 = 3.x2 – 3x + 3 = -2x + 3, х2 – х = 0, х3 = 0, х4 = 1.Выбранный способ решения не приводит к появлению посторонних корней.Ответ: Замечание. Решением уравнения может оказаться не конечный набор чисел, а непрерывный промежуток. Кроме того, вы можете включать точку, разделяющую интервалы, в любой из соседних промежутков — если она не является решением уравнения, то ее включение в выбранный интервал не изменит набора корней, а если является, то этот корень обязательно получится в каждом из уравнений, к которым сводится исходное уравнение на соседних интервалах, и, соответственно, войдет в ответ.Пример 13.Решить уравнение: |2x + 2| - |x| = x + 2.Решение.Найдем корни подмодульных выражений: х = -1 и х = 0 — и определим знаки этих выражений на интервалах (-∞; -1), (-1; 0) и (0; +∞). Для этого достаточно подставить в каждое подмодульное выражение вместо х какое-нибудь число из выбранного интервала:Раскроем на каждом интервале оба модуля с учетом знака подмодульных выражений:Ответ: Пример 14.Решить уравнение: x2 – 6x + |x – 3| - 3 = 0.Решение.Заметим, что x2 – 6x = (x2 – 6x + 9) – 9 = (x – 3)2 – 9 = | x – 3 |2 – 9.Введем новое неизвестное t = | x – 3 | (t 0),тогда для t требуется решить уравнение t2 – 9 + t – 3 = 0,t2 + t – 12 = 0, t1 = 3, t2 = -4 < 0 — посторонний корень.Следовательно, |x – 3| = 3,x – 3 = ± 3, x1 = 0, x2 = 6.Ответ: Неравенства с модулемСтандартный путь решения неравенств с модулем заключается в том, что координатная прямая разбивается на промежутки (границами этих промежутков являются нули подмодульных выражений), а затем неравенство решается на каждом из промежутков.Рассмотрим неравенство |f(x)| g(x). Очевидно, что те x, для которых g (x) <  0, не являются решениями. Значит, если x является решением, то для него g (x)  0, и согласно геометрическому смыслу модуля, как расстоянию на координатной оси, данное неравенство равносильно системе – g(x) f(x) g(x). Таким образом, имеемАналогично рассматривают неравенство |f(x)| g(x). Неравенство выполнено для тех x, для которых g (x) < 0 и функции f (x) и g (x) определены. Для тех x, для которых g (x)  0, имеем равносильную совокупность Пример 15.Решить неравенство |x + 5| + |2x – 3| < 10.Решение.Корни подмодульных выражений: х = -5 и х = 1,5. Расставим знаки этих выражений на полученных интервалах:Последовательно решим три системы неравенств: интервалы не пересекаются, решений нет..Объединим найденные решения: .Ответ: Пример 16.Решить неравенство: |3x – 1| + |2x – 3| – |x + 5| < 2.Решение.Раскроем модули.Таким образом, имеем:Решение неравенства свелось к решению совокупности систем неравенств:   Следовательно, решение данного неравенства:Ответ: Пример 17.Решить неравенство:
    1)2) 3) 4)
Решение.
Неравенство |a| > 1 сводится к совокупности неравенств >  1 и <  -1. Рассмотрим каждый случай отдельно:Применим метод интервалов:Итак, решением для этого случая является интервал С помощью метода интервалов получаем решение: Объединяя оба решения, находим окончательный ответ: (ответ 3).Ответ: Теорема о знаках. Знак разности модулей двух выражений совпадает со знаком разности квадратов этих выражений.Пример 18.Решить неравенство: Решение.Используя формулу разности квадратов, разложим числитель и знаменатель на множители и решим полученное рациональное неравенство:Ответ: Пример 19.Решить неравенство: .Решение.Пусть , тогда t2 + t - 12 <  0, имеем (t + 4)(t - 3) <  0.Решение последнего неравенства интервал (-4, 3). Таким образом, решение данного неравенства сводится к решению двойного неравенства: .Поскольку при всех допустимых значениях х, то осталось решить лишь неравенство Отметим на числовой прямой х = 1 точку, зануляющую подмодульное выражение, и на прямой х = 2 точку, в которой подмодульное выражение не существует. Расставим знаки подмодульного выражения в каждом из трех полученных промежутков.Т.о., имеем два случая:Решение неравенства сводится, таким образом, к решению совокупности систем:, Решение первой системы: Решение второй системы: Таким образом, решение данного неравенства: .Ответ: Пример 20.Решить неравенство | |2x – 3| - 7| > 6.Решение.Из неравенства |a| > b (при b > 0) следует, что a > b или a < -b. Рассмотрим эти случаи отдельно:Окончательным ответом будет объединение полученных решений.Ответ:  Видеолекция «Уравнения и неравенства с модулем»: