16.
Иррациональные уравнения
Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня. К простейшим иррациональным уравнениям относят уравнения вида .Способы решения иррационального уравнения
  1. Переход к рациональному алгебраическому уравнению, которое либо равносильно исходному уравнению, либо является его следствием.
      1) Если обе части иррационального уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень и освободиться от радикалов, то получится уравнение, равносильное исходному.При возведении уравнения в четную степень, получается уравнение, которое является следствием исходного. Так как при возведении в чётную степень чисел, равных по абсолютной величине, но разных по знаку, получается один и тот же результат, то возможно появление посторонних решений уравнения, но невозможна потеря корней.Так как могут появиться посторонние корни, то необходимо делать проверку, подставляя найденные значения неизвестной в первоначальное уравнение.2) От иррационального уравнения вида можно перейти к равносильной ему системе: От иррационального уравнения вида можно перейти к одной из равносильных ему систем: или Неравенство g(x) 0 ( или f(x) 0) в этих системах выражает условие, при котором уравнение можно возводить в чётную степень, отсекает посторонние решения и позволяет обходиться без проверки.
  2. Введение новой переменной.Если в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины, то имеет смысл обозначить это выражение какой-нибудь новой переменной и попытаться решить уравнение сначала относительно введённой неизвестной, а затем уже найти исходную неизвестную.
  3. Метод сведения к эквивалентным системам рациональных уравнений.Уравнения вида , где а, b, с, d — некоторые числа, часто удаётся решить при помощи введения двух вспомогательных неизвестных: , где у 0, z 0, и последующего перехода к эквивалентной системе рациональных уравнений. Полученное уравнение будет содержать две неизвестных, которые зависят одна от другой посредством старой переменной х. С помощью преобразований можно получить систему двух уравнений относительно двух неизвестных у и z.
  4. Использование свойства монотонности функций.Если уравнение имеет вид: f(x) = 0, где f(x) возрастает (убывает), или f(x) = g(x), где f(x) и g(x) «встречно монотонны», то есть f(x) возрастает, а g(x) убывает или наоборот, то такое уравнение имеет не более одного корня. Если удаётся привести уравнение к такому виду и найти корень, то он и будет решением данного уравнения. Во многих случаях корень такого уравнения удобно находить подбором.
Пример 1.Решить уравнение .1) 1; 2) 3/2; 2; 3) нет решений; 4) другой ответ.Решение.Возведя обе части в квадрат, получим 2х – 3 = х – 2 х = 1.Чтобы не тратить время на нахождение ОДЗ уравнения (заметим, что это будет пересечение решений системы неравенств2х – 3 0 и х – 2 0), достаточно сделать проверку: 1 – 3 = 1 – 2 = – 1 < 0, поэтому решений нет.Ответ: Пример 2.Решить уравнение .1) – 1/3; 2) – 5/3; 3) нет решений; 4) другой ответ.Решение.Левая часть уравнения положительна, а правая отрицательна, т.е. решений нет.Ответ: Пример 3.Решить уравнение .1) – 3; 2) – 5; 3) нет решений; 4) другой ответ.Решение.Левая часть уравнения всегда неотрицательна, а правая — отрицательная, т.е. решений нет.Ответ: Пример 4.Решить уравнение .1) 16; 2) нет решений; 3) 40; 8; 4) другой ответ.Решение.В данном случае мы быстрее получим ответ, если сначала найдем ОДЗ уравнения: . Так как нет пересечения решений системы, то решений нет.Ответ: Пример 5.Решить уравнение .1) нет решений; 2) 5; 3) 1; 4) другой ответ.Решение.Так как левая часть больше единицы: , а правая часть равна единице, то решений нет.Ответ: Пример 6.Решить уравнение .1) – 2; 2) 3/4; 3) другой ответ; 4) – 2; 3/4.Решение.Так как правая часть уравнения положительна, то возведем в квадрат обе части уравнения: 2 + 5х – 2 = 4; 4х2 + 5х – 6 = 0;х1 х2 = – 24; х1 + х2 = – 5.Подберем корни 1 = – 8 ; aх2 = 3, тогда х1 = – 8/4 = – 2; х2 = 3/4 .Проверкой убеждаемся, что оба корня подкоренное выражение не делают отрицательным: 16 – 10 – 2 > 0 и 9/4 + 15/4 – 2 > 0.Ответ: Пример 7.Сократить дробь .Решение.Замена: = t, тогда a = t2, получим в числителе квадратный трехчлен относительно переменной t: t2 – t – 2, который разложив на множители, используя 2-е следствие теоремы Виета, имеет вид: t2 – t – 2 = (t +1)(t – 2). Тогда сократим дробь: Обратная замена – 1.Ответ: Пример 8.Решить уравнение .1) – 8; 2) – 6; 3) другой ответ; 4) – 8; – 6.Решение.Возведем в куб обе части уравнения: х2 + 14х – 16 = – 64 ; х2 + 14х + 48 = 0; х1 х2 = 48; х1 + х2 = – 14, откуда х1 = – 8; х2 = – 6 .Ответ: Пример 9.Решить уравнение .1) 23/15; 2) 3; 3) другой ответ; 4) 23/15; 3.Решение.Корни должны удовлетворять условию 4х – 8 0, то есть х 2. Возведем обе части в квадрат: х2 + 4х – 5 = 16х2 – 64х + 64,15х2 – 68х + 69 = 0, х1 = 3, х2 = 23/15 < 2 — посторонний корень.Ответ: Пример 10.Решить уравнение .Решение.Поскольку неизвестное входит в подкоренное выражение и в рациональную часть уравнения в виде одной и той же комбинации 2 – 7х), можно сделать замену: тогда х2 – 7х = t2 – 19, и t определяется из уравнения:2t + t2 – 19 + 4 = 0, t2 + 2t – 15 = 0, t1 = 3, t2 = - 5 < 0 — не соответствует условию на знак t.Обратная замена: Ответ: Замечание. Замена переменной очень полезна при решении иррациональных уравнений. Часто с ее помощью удается избежать необходимости возведения в квадрат.Пример 11.Решить уравнение .Решение.Подкоренные выражения — взаимно обратные дроби, поэтому замена приводит к уравнению Ответ: Замечание. Следует обратить внимание на то, что в некоторых заданиях нет необходимости в проверке корней или задании каких-либо ограничений: значения х определяются из условия, что корень принимает некоторое неотрицательное значение.Пример 12.Решить уравнение .Решение.В этом уравнении замена поможет ограничиться только одним возведением в квадрат:Ответ: Пример 13.Решить уравнение .Решение.ОДЗ задается условием: . Запишем уравнение в виде: х + 6 = 0, х = - 6 < - 5 -  — посторонний корень.(корень первого уравнения х = 0 не удовлетворяет второму условию). Итак, единственный корень исходного уравнения х = 11.Ответ: Пример 14.Решить уравнение Решение.Сделаем замену: и решим уравнение относительно переменной t: .После обратной замены получим:Ответ:  Видеолекция «Иррациональные уравнения»: