17.
Задания с параметром
Основные формулировки заданий с параметром:
  1. Найти все значения параметра, при каждом из которых выполняется определенное условие.
  2. Решить уравнение или неравенство с параметром a.
Линейная функция в заданиях с параметромПример 1.Решить уравнение и определить знаки корней: .Решение.ax + 2x + x = 1 – 3ax + 3x = – 2(a + 3)x = – 2При a = – 3 уравнение 0·x = – 2 не имеет решений.При a – 3 решение .Решение будет положительным, если: Решение будет отрицательным, если: Ответ: Пример 2.Решите уравнение: . (1)Решение.Приведем уравнение (1) к простейшему виду:45x – 5a – ax +4 = 0;(45 – a)x = 5a – 4. (2)При a 45 решение (2) При a = 45, то уравнение решений не имеет, т.к. 0·x = 221.Допустимыми значениями x и a будут значения, при которых общий знаменатель (1) не равен нулю:ax – 4 = 0 при x = 4/a9x – a = 0 при x = a/9Найдем a, при которых (1) и (2) не равносильны или (1) не имеет числового смысла. Подставив в (2) и .
Таким образом, при a = 6 уравнение (1) не имеет числового смысла, т.е. a = 6 — недопустимые значения параметра a для (1).При a = 6 можем решать уравнение (2).Ответ: Пример 3.Найти все b, при каждом из которых решение уравнения6 – 3b + 4bx = 4b +12x меньше 1.Решение.Сначала решим уравнение: 6 – 3b + 4bx = 4b +12x.4bx – 12x = 3b – 6 + 4b(4b – 12)x = 7b – 6При 4b – 12 = 0 получим 0x = 15, .При b 3, .Найдем те значения b, при которых решение уравнения меньше 1, т.е. x < 1.Ответ: Пример 4.Найдите все значения параметра а, при каждом из которых корень уравнения в три раза меньше корня уравнения .Решение.Если х = 8 корень уравнения , то х = 8/3 корень уравнения (по условию).Подставим х = 8/3 в уравнение :Ответ: Пример 5.Решите уравнение с параметром a: Решение.Если a = – 3, то 0·х = 9, .Если a – 3, то х = (6 – a)/(a + 3).Ответ:Пример 6.Решить неравенство для каждого значения параметра: .Решение.Возможны следующие случаи:Ответ: Пример 7.При каких значениях а неравенство является следствием неравенства ?Решение.Сначала решим каждое неравенство.Множество решений второго неравенства должно содержаться в множестве решений первого неравенства. Это возможно, если: Ответ: Пример 8.При каких значениях а неравенства и равносильны?Решение.Сначала решим каждое неравенство.У равносильных неравенств множества их решений совпадают.Найдем а, решив уравнение: Ответ: Пример 9.Решить неравенство и найти значение параметра t, при котором неравенство (2х - 1)t22 – (9x - 10)t + 4x + 8 0 не имеет решений. Если таких значений несколько, то найти их сумму.Решение.Это линейное неравенство относительно «х». Раскроем скобки и вынесем его за скобки: (2t2 – 9t +4)x t2 – 10t – 8,(t - 4)(2t - 1)x t2 – 10t – 8,Все решения: при t (- ; 1/2)U(4; + ), то x (- ;В], где ;при t (1/2;4), то x [В;+ ), при t = 1/2 или при t = 4 решений нет.Нас интересует случай, когда решений нет, тогда 4 + 1/2 = 4,5.Ответ: Пример 10.Найти все значения параметра t, при которых система имеет 2012 решений. Если таких значений несколько, то найти их сумму.Решение.(1) и (2) — это линейные уравнения относительно двух переменных х и у. Каждое из уравнений является уравнением прямой. Если прямые пересекаются, то система имеет единственное решение. Если прямые совпадают, то решений бесконечно много или, например, 2012 штук.Выразим из второго уравнения и подставим в первое, получим:Продолжим решать первое уравнение:Из последнего уравнения видно, что система имеет бесконечно много решений, когда 2t + 5 = 0, т.е. t = - 2,5.Заметим, что при t = 6 или t = 7 решений нет.Ответ: Квадратичная функция в заданиях с параметромУравнение вида Ах2 + Вх + С = 0, где А, В, С — выражения, зависящие от параметров, А 0, х — переменная, называется квадратным уравнением с параметрами.Во множестве действительных чисел это уравнение исследуется по следующей схеме.Пример 11.Найти все значения параметра t, для которых квадратное уравнение (t – 1)x22 + 2(2t + 1)x + 4t +3 = 0: а) имеет два корня; б) не имеет корней; в) имеет один корень.Решение.Данное уравнение по условию является квадратным, поэтому t – 1 0, t 1. Рассмотрим дискриминант:D = 4(2t + 1)2 – 4(t - 1)(4t + 3) = 4(5t + 4).Согласно схеме исследования, имеем:а) б) в) Ответ: Пример 12.Найти наибольшее целое значение параметра t, для которого выполняется неравенство: (1 - t)x2 + 3x - t - 1 > 0.Решение.В левой части неравенства квадратный трехчлен, который будет всегда положительным при ветвях параболы, направленных вверх (т.е. 1 – t > 0 или t < 1) и отрицательном дискриминанте:Изобразим решения системы на числовой прямой:Все решения неравенства: . Наибольшее целое число , т.к. .Ответ: Пример 13.При каком значении p корни уравнения противоположны по знаку? Найти эти корни.Решение.По теореме Виета: Подставляем (- x1), вместо x2:Ответ: Пример 14.При каких значениях параметра а модуль разности корней уравнения не превосходит 10?1) [5; 46]; 2) [-3.5; 46,5]; 3) [6; 47]; 4) [-2,5; 42]; 5) [4; 40].Решение.Определим, как выражается модуль разности корней через коэффициенты квадратного уравнения общего вида: Соответственно для данного уравнения Учитывая, что для существования корней необходимо, чтобы дискриминант был неотрицательным, получаем систему неравенств для а: Итак, номер правильного ответа — 2.Ответ: Пример 15.При каких значениях параметров а и b все решения неравенства x4 + x3 – x2 + ax + b 0 образуют отрезок [- 2; 1] ?Решение.Для выполнения условия задачи необходимо, чтобы числа - 2 и 1 были корнями уравнения x4 + x3 – x2 + ax + b = 0. Подставив эти значения в уравнение, получим систему уравнений для определения а и b: Убедимся, что уравнение x4 + x3 – x2 + x – 2 = 0 не имеет других корней. Разложим его левую часть на множители: (х - 1)(х + 2)(х2 + 1) = 0. Видим, что последний множитель не обращается в 0, поэтому других корней уравнение не имеет.Вернемся к решению неравенства. Запишем его в виде: (х - 1)(х + 2)(х2 + 1) 0. Метод интервалов дает решение [- 2; 1], то есть условие задачи выполнено.Ответ:  Видеолекция «Задания с параметром»: