18.
Углы. Треугольники. Прямоугольный треугольник
Основные понятияТеоремы (признаки) о параллельности и перпендикулярности прямых:Свойства серединного перпендикуляра отрезка:Признаки равенства треугольников:
  1. по двум сторонам и углу между ними;
  2. по стороне и двум прилегающим к ней углам;
  3. по трем сторонам.
Треугольник называют равнобедренным, если у него две стороны равны.Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.Биссектрисой треугольника называют отрезок прямой, заключенной между вершиной и точкой ее пересечения с противоположной стороной, которая делит угол пополам.Высота треугольника — это отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины треугольника на противоположную сторону, или на ее продолжение.Свойства равнобедренного треугольника:Внешним углом треугольника ABC при вершине A называется угол, смежный углу треугольника при вершине A.Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол. В прямоугольном треугольнике сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Остальные две стороны, называются катетами.Свойства сторон и углов прямоугольного треугольника:Признаки равенства прямоугольных треугольников:Сумма внутренних углов треугольника:Признаки подобия прямоугольных треугольников:Прямоугольный треугольникa, b — катеты; c — гипотенуза; ac, bc — проекции катетов на гипотенузу:Теорема Пифагора: c2 = a2 + b2.Решение прямоугольных треугольников:Основное тригонометрическое тождество:

a

30

45

60

90

180

270

0/360

sin

1/2

/2

/2

1

0

-1

0

cos

/2

/2

1/2

0

-1

0

1

tg

1/

1

-

0

-

0

ctg

1

1/

0

-

0

-

Виды треугольниковПример 1.«Тригонометрический тренажер». Выразить sin, cos, tg из треугольников MPH, РНN и MPN.Решение.Пример 2.Какое из следующих утверждений верно?
    1) Если угол равен 45, то вертикальный с ним угол равен 45.2) Любые две прямые имеют ровно одну общую точку.3) Через любые три точки проходит ровно одна прямая.4) Если расстояние от точки до прямой меньше 1, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой, меньше 1.
1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4.Решение.
Ответ: Пример 3.Какое из следующих утверждений верно?
    1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65, то эти две прямые параллельны.2) Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65 и 45 то эти две прямые параллельны.3) Через любую точку проходит не более одной прямой.4) Любые три прямые имеют не менее одной общей точки.
1) 1; 2) 2 ; 3) 3 ; 4) 4.Решение.
Ответ: Пример 4.Какие из следующих утверждений верны?
    1) Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы составляют в сумме 90, то эти две прямые параллельны.2) Если угол равен 60, то смежный с ним равен 120.3) Если при пересечении двух прямых секущей внутренние односторонние углы равны 70 и 110, то эти две прямые параллельны.4) Через любые три точки проходит не более одной прямой.
1) 1 и 2; 2) 2 и 3; 3) 2 и 4; 4) 3 и 4.Решение.
Ответ: Пример 5.Какие из следующих утверждений верны?
    1) В треугольнике против меньшего угла лежит большая сторона.2) Если один угол треугольника больше 120, то два других его угла меньше 30.3) Если все стороны треугольника меньше 1, то и все его высоты меньше 1.4) Сумма острых углов прямоугольного треугольника не превосходит 90.
1) 3 и 4; 2) только 4; 3) только 3; 4) все верны.Решение.
Ответ: Пример 6.Какие из следующих утверждений не верны?
    1) В треугольнике АВС, для которого угол А = 50,угол В = 60, угол С = 70, сторона ВС — наименьшая.2) В треугольнике АВС, для которого АВ = 4,ВС = 5, АС = 6, угол В — наибольший.3) Внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла.4) Треугольник со сторонами 1, 2, 3 не существует.
1) 2 и 3; 2) только 3; 3) 3 и 4; 4) все верны.Решение.
Ответ: Пример 7.Мальчик прошел от дома по направлению на запад 800 м. Затем повернул на север и прошел 600 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказался мальчик?1) 1400; 2) 1000; 3) 200; 4) другой ответ.Решение.По теореме Пифагора:АВ2 = АС2 + ВС2 = 8002 + 6002= 640 000 + 360 000 = 1000 000 м2; АВ = 1000 м.Ответ: Пример 8.Мальчик и девочка, расставшись на перекрестке, пошли по взаимно перпендикулярным дорогам, мальчик со скоростью 4 км/ч, девочка — 3 км/ч. Какое расстояние (в км) будет между ними через 30 минут?1) 6,25; 2) 7; 3) 2,5; 4) другой ответ.Решение.30 мин = 0,5 ч. По теореме Пифагора:АВ2 = АС2 + ВС2 = (3 ·0,5)2 + (4·0,5)2 = 2,25 + 4= 6,25 км2; АВ = 2,5 км.Ответ: Пример 9.Два парохода вышли из порта, следуя один на север, другой на запад. Скорости их равны соответственно 15 км/ч и 20 км/ч. Какое расстояние (в километрах) будет между ними через 2 часа?1) 50; 2) 2500; 3) 35; 4) другой ответ.Решение.По теореме Пифагора:АВ2 = АС2 + ВС2 = (15 · 2)2 + (20·2)2 = 900 + 1600 = 25 00 км2; АВ = 50 км.Ответ: Пример 10.В 24 м одна от другой растут две сосны. Высота одной 30 м, а другой — 12 м. Найдите расстояние (в метрах) между их верхушками.1) другой ответ; 2) 18; 3) 30; 4) 50.Решение.Надо найти КВ-?Ответ: Пример 11.Человек ростом 1,8 м стоит на расстоянии 12 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 5,4 м. Найдите длину тени человека в метрах.1) другой ответ; 2) 6; 3) 3,6; 4) 18.Решение.Надо найти АМ -?Рассмотрим подобные треугольники АВС и АКМ:АС = 3 АМ = 3(АС – 12); АС = 3АС – 36; 2АС = 36; АС = 18 м.АМ = АС – МС = 18 – 12 = 6 м.Ответ: Пример 12.Два острых угла прямоугольного треугольника относятся как 4:5. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.1) 40; 2) 50; 3) 90; 4) другой ответ.Решение.Ответ: Пример 13.В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол, лежащий напротив него, равен 30 . Найдите площадь треугольника.Решение.Ответ: Пример 14.В треугольнике ABC угол C равен 90, AB = 10, BC = 8. Найдите cosA.Решение., где АС — прилежащий катет, АВ — гипотенуза.Вычислим катет АС. Для этого применим теорему Пифагора: AC2 + CB2 = AB2, тогда AC2 = AB2 - CB2, тогда .Окончательно получаем .Ответ: Пример 15.В равнобедренном треугольнике высоты, проведенные к основанию и к боковой стороне, равны 10 и 12 см, соответственно. Найти длину основания.Решение.В ABC имеем AB = BC, BD AC, AE DC, BD = 10 см и AE = 12 см. Пусть АС = х, АВ = ВС = у. Прямоугольные треугольники AEC и BDC подобны (угол C общий); следовательно, ВС : АС = ВД : АЕ или у:х =5:6.Применяя теорему Пифагора к BDC, имеем ВС2 = ВD2 + DС2, т.е. у2 = 100 + х2 /4.В итоге, мы получили систему уравнений: Решая эту систему, получим х = 15 см. Итак, AC = 15 см.Ответ: Пример 16.В прямоугольный треугольник вписан квадрат, имеющий с ним общий угол. Найдите площадь квадрата, если катеты треугольника равны 10 м и 15 м.
    Дано: ABC — прямоугольный, AC = 15, CB = 10Найти: SCDEF
Решение.
  1. ADE ~ ACB (A — общий, ADE = ACB = 90°)
  2. Пусть DE = DC = X, тогда AD = 15 – X
  3. AD/AC= DE/CB (15 – X)/15= X/1015 · X = 10(15 – X)15 · X = 150 – 10 · X25 · X = 150X = 6DE = DC = 6
  4. S кв. = 6 · 6 = 36
Ответ: Пример 17.В прямоугольном треугольнике найти отношение радиусов вписанной и описанной окружностей, если отношение катетов равно 2:3.Решение.Обозначим катеты треугольника и , тогда его гипотенуза равна . Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы, то есть Радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру. Учитывая, что площадь равна половине произведения катетов, найдем r: Ответ: Пример 18.Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 10 см, а радиус описанной окружности ?13 см. Найти расстояние от вершины меньшего угла до медианы, проведенной к большему катету.Решение.Найдем длины катетов. Пусть АВ = х, АС = у. Как известно, радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы, следовательно, ВС = 2. Тогда для х и у можно составить систему уравнений: Поскольку в качестве х выбран больший катет, будем считать, что АВ = 6, АС = 4.Проведем медиану CN и опустим на ее продолжение перпендикуляр ВО, длину которого нужно найти. Прямоугольные треугольники BON и CNA подобны, так как их углы при вершине N равны как вертикальные. Следовательно, Найдем медиану NC как гипотенузу прямоугольного треугольника CNA: Ответ: Пример 19.Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2 м, а радиус описанной окружности равен 5 м. Найдите больший катет треугольника.Решение.AC = 2r = 10 мПусть AM = AK = x, MC = CL = yПо теореме Пифагора:x + y = 10(x + 2)2 + (y + 2)2 = (x + y)2y = 10 – x(x + 2)2 + (10 – x + 2)2 = (x + 10 – x)2(x + 2)2 + (12 – x)2 = 100x2 + 4x + 4 +144 – 24x + x2 = 1002x2 – 20x + 148 = 1002x2 – 20x + 48 = 0x2 – 10x + 24 = 0x1 = 6, x2 = 4y = 10 – x

x = 6

x = 4

y = 4

y = 6

Так как нужно найти больший катет, то берем y = 6.BC = 2 + 6 = 8 м.Ответ:  Видеолекция «Углы. Треугольники. Прямоугольный треугольник»:
Видеолекция «Углы. Треугольники. Прямоугольный треугольник. Продолжение»: