19.
Произвольный треугольник
Важнейшие теоремы и формулы планиметрииТеорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной стороне равные отрезки, то эти прямые отсекают на другой стороне также равные отрезки.Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: с2 = a2 + b2.Произвольный треугольникa, b, c — стороны;  — противолежащие им углы; p — полупериметр; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; S — площадь; ha — высота, проведенная к стороне a:S = pr, где p = 1/2(a + b + c)Решение треугольниковТеорема косинусов:Теорема синусов: Длина медианы треугольника: .Длина стороны треугольника через медианы: .Длина биссектрисы треугольника: .Равносторонний треугольникСвойства биссектрисы внутреннего углаСМ — биссектриса угла С в треугольнике АВСДлина биссектрисы: .Длина медианы: .Длина высоты: .Существование окружности, описанной около треугольника:Существование вписанной в треугольник окружности:Отрезки и окружности, связанные с треугольникомОкружность, касающаяся всех трех сторон треугольника, называется его вписанной окружностью.Окружность, проходящая через все три вершины треугольника, называется его описанной окружностью.Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется центроидом или центром тяжести треугольника.Центроид делит каждую медиану в отношении 1:2, считая от основания медианы.Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности.В равнобедренном треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию, совпадают. Верно и обратное: если биссектриса, медиана и высота, проведенные из одной вершины, совпадают, то треугольник равнобедренный.Если треугольник разносторонний, то для любой его вершины биссектриса, проведенная из нее, лежит между медианой и высотой, проведенными из той же вершины.Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника также пересекаются в одной точке, которая совпадает с центром описанной окружности.Вне вписанной окружностью называется окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух других сторон.Середины трех сторон треугольника, основания трех его высот и середины трех отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек.В любом треугольнике центр тяжести, ортоцентр, центр описанной окружности и центр окружности девяти точек лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера.Отрезок, соединяющий середины боковых сторон треугольника называется средней линией треугольника.Средняя линия треугольника обладает свойством — она параллельна основанию треугольника и равна ее половине.Свойства медиан треугольникаСвойства высот треугольникаСвойства серединных перпендикуляров треугольникаПризнаки подобия треугольников
  1. по двум углам;
  2. по двум пропорциональным сторонам и углу между ними;
  3. по трем пропорциональным сторонам.
Пример 1.Какие из утверждений не являются верными?
    1) Любые два равносторонних треугольника подобны.2) Любые два равнобедренных прямоугольных треугольника подобны.3) Любые два неравных прямоугольных треугольника с равными гипотенузами подобны.4) Если периметры подобных треугольников относятся как 3:2, то площади этих треугольников относятся как 9:4.
1) 3 и 4; 2) неверных нет; 3) 3; 4) 4.Решение.
Ответ: Пример 2.Сторона равностороннего треугольника равна 10. Найдите его площадь.Решение.BH = 1/2 BC. По теореме Пифагора:Ответ: Пример 3.В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, а угол, лежащий напротив основания равен 120. Найдите площадь треугольника.Решение.BH = AB cos30 = 10/2 = 5.Тогда ВС = 2ВН = 10.AH = AB sin30 = 10/2 = 5Ответ: Пример 4.В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, а угол, лежащий напротив основания равен 135, основание . Найдите площадь треугольника.Решение.Заметим, что в задаче лишнее условие (про основание).Ответ: Пример 5.В треугольнике одна из сторон равна 10, другая равна 12, а косинус угла между ними равен . Найдите площадь треугольника.Решение.Ответ: Пример 6.В треугольнике одна из сторон равна 10, другая равна 12, а тангенс угла между ними равен . Найдите площадь треугольника.Решение.Ответ: Пример 7.Площадь треугольника ABC равна 30 см2. На стороне AC взята точка D так, что AD:DC=2:3. Длина перпендикуляра DE, проведенного на сторону BC, равна 9 см. Найти BC.Решение.Проведем BD; треугольники ABD и BDC имеют общую высоту BF; следовательно, их площади относятся как длины оснований, т.е.: откуда С другой стороны , откуда BC = 4 см.Ответ: Пример 8.В треугольнике ABC, AВ = 5 см, C равен 30. Найти радиус описанного круга.Решение.По теореме синусов имеем Значит, , т.е. .Последовательно находим 2R = 10, т.е. R = 5 см.Ответ: Пример 9.Около равнобедренного треугольника с основанием AC и углом при основании 75 описана окружность с центром O. Найдите ее радиус, если площадь треугольника BOC равна 16.Решение.ABC — равнобедренный, BH — медиана, следовательно, BH — высота, а значит HBC — прямоугольныйHBC = 90ACB, HBC = 90– 75 = 15BO = OC = R, следовательно, BOC — равнобедренный, значит OBC = OCB = 15COB = 180 – (OBC + OCB),COB = 180 – (15 + 15) = 150S = (BO ∙ OC sinBOC)/2.SBOC = (R ∙ R ∙ sin 150)/2= (R ∙ R)/4 = R2/2; R2/4 = 16; R2 = 64; R = 8Ответ: Пример 10.Остроугольный равнобедренный треугольник BCD с основанием CD, равным 16, вписан в окружность с центром O и радиусом 10. Найдите площадь треугольника BOC.Решение.Так как BCD — равнобедренный, CD = 16, следовательно, DH = HC = 8.DOH — прямоугольный. По теореме Пифагора:OH2 = 102 – 82OH2 = 100 – 64 = 36OH = 6BH = BO + OH = 10 + 6 = 16По теореме Пифагора: BC2 = 162 + 82 = 256 + 64 = 320BC = 8.KBO ~ HBCSBOK = 20SBOC = 2 ∙ SBOK = 2 ∙ 20 = 40Ответ: Пример 11.Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, касается его боковых сторон в точках K и A. Точка K делит сторону этого треугольника на отрезки 15 и 10, считая от основания. Найдите длину отрезка KA.Решение.CD = CB = BK + KC, CD = CB = 15 + 10 = 25CK = CA = 10 (отрезки касательных, проведенные из одной точки), CB = CD, следовательно AD = CD – CA, AD = 25 – 10 = 15.BE = BK = 15, DE = DA = 15 (отрезки касательных, проведенные из одной точки), следовательно BD = 15 + 15 = 30CKA ~ CBD (C — общий, CK : CB = CA : CD),следовательно KA : BD = CA : CD, KA : 30 = 10 : 25, KA = 10 ∙ 30 : 25 = 12Ответ: Пример 12.Стороны треугольника равны 12 м, 16 м и 20 м. Найдите го высоту, проведенную из вершины большего угла.Решение.202 = 122 + 162400 = 144 + 256400 = 400 верно,следовательно, АВС — прямоугольный (по теореме, обратной теореме Пифагора)SABC = AB · BC/2SABC =12· 16/2 = 6·16 = 96SABC =AC·BH/296 = 20·BH/2BH = 9,6.Ответ: Пример 13.Имеется треугольник с длинами сторон 9 см, 12 см и 18 см. Найти радиус окружности, описанной около треугольника, одна из сторон которого является медианой большей стороны заданного треугольника, а две другие стороны равны 9 см и 12 см.1) см; 2) см; 3) см; 4) см.Решение.Как известно, радиус окружности, описанной около треугольника, выражается формулой где a, b, c — стороны треугольника, а S — его площадь. Найдем третью сторону треугольника, для которого нужно найти радиус описанной окружности, то есть медиану исходного треугольника, проведенную к стороне длиной 18 см.Продолжим медиану АМ до точки Р на отрезок МР = АМ и проведем отрезки ВР и РМ. Четырехугольник АВРС является параллелограммом (так как его диагонали в точке пересечения делятся пополам), поэтому сумма квадратов его диагоналей равна сумме квадратов длин сторон:Теперь найдем площадь треугольника со сторонами 9, 12, по формуле Герона:Ответ:  Видеолекция «Произвольный треугольник»: