20.
Четырехугольник. Параллелограмм. Прямоугольник. Ромб. Квадрат
Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.Вершины четырехугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.Вершины, не являющиеся соседними, называются противоположными.Отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырехугольника, называются диагоналями.Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними сторонами.Стороны, не имеющие общего конца, называются противолежащими сторонами.Четырехугольник называется выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей любую его сторонуВиды четырехугольниковПараллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые.Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны.Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны.Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.Дельтоид — четырехугольник, у которого две пары смежных сторон равны.Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется квадратом.Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.Признаки (свойства) параллелограмма:Параллелограмм, все стороны которого равны, называется ромбом.Свойства ромба:Признаки ромба:Параллелограмм, все углы которого прямые, называется прямоугольником.Дополнительные свойства и признаки прямоугольника:Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется квадратом.Свойства и признаки квадрата (необходимые и достаточные условия того, что четырехугольник — квадрат).Если четырехугольник — квадрат, то для него справедливы все следующие утверждения.Если для четырехугольника справедливо хотя бы одно из следующих утверждений, то он — квадрат.Все стороны равны и среди внутренних углов есть прямой угол.Диагонали равны, перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам.Квадрат имеет 4 оси симметрии: прямые, перпендикулярные сторонам и проходящие через их середины; прямые, содержащие диагонали.Основные формулыПроизвольный выпуклый четырехугольник:d1, d2 — диагонали;  — угол между ними; S — площадь.Параллелограмм:a, b — смежные стороны;  — угол между ними; hа — высота, проведенная к стороне a; S — площадь.Ромб:Прямоугольник:Квадрат:Пример 1.В параллелограмме один из углов равен 41°. Найти сумму остальных углов.Решение.Ответ: Пример 2.Стороны параллелограмма 10 и 24, а одна из диагоналей 26. Найти длину другой диагонали.Решение.Найдем cosA по теореме косинусов: cosA =(АВ2 + AD2 – BD2)/2AB·AD, cosA =(102 + 242 – 262)/2·10·24 = 0. Значит, А = 90°,ABCD — прямоугольник, в котором диагонали равны. Следовательно, длина второй диагонали тоже 26.Ответ: Пример 3.На стороне АВ параллелограмма ABCD отметили точку М. Найти площадь параллелограмма, если площадь треугольника МСD равна 38 см2.Решение.Площадь треугольника МСD выражается по формуле SMCD = CD·MH/2 = 38 CD·MH = 76, где МН — высота треугольника. Заметим, что МН = ВЕ, то есть высота данного треугольника равна высоте параллелограмма, опущенной на сторону CD, как расстояние между параллельными сторонами AB и CD.Площадь параллелограмма равна S = CD·MH = 76 см2.Ответ: Пример 4.В параллелограмме ABCD sinA = 0,8. Найдите cosB.Решение.Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: , тогда (если угол В — острый) и (если угол В — тупой). Для рассматриваемой задачи нужно выбрать второй случай.Ответ: Пример 5.Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 15 см, а одна из диагоналей ромба равна 60 см. Найти углы ромба.Решение.Пусть диагональ BD = 60, тогда ОВ = ОD = 30, так как диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.В прямоугольном треугольнике ВОС найдем sinOBC = OH/OB = 15/30 = 0,5, тогда OBC = 30°.Так как диагонали ромба являются биссектрисами углов, то АBC = 2OBC = 60°.Так как сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180°, то DAB = 180 – 60 = 120°. А так как противоположные углы ромба равны, то DСB = DAB = 120°, АBC = АDC = 60°.Ответ: Пример 6.Высота АН ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DН = 8 и СН = 2. Найти высоту ромба.Решение.Так как сторона ромба равны, то AD = CD = 12 + 8 = 10.В прямоугольном треугольнике AНD по теореме Пифагора найдем Ответ: Пример 7.Расстояние от вершины квадрата до середины стороны, не содержащей эту вершину, равно 3 см. Найти площадь квадрата.Решение.Пусть сторона квадрата АВ = х, тогда ВК = х/2.В прямоугольном треугольнике AВК, используя теорему Пифагора, получим уравнениех2 + (х/2)2 = 32; 5х2/4 = 9; х2 = 36/5 = 7,2.Заметим, что площадь квадрата — это и есть х2 = 7,2.Ответ: Пример 8.В ромб вписана окружность радиуса R. Найти площадь ромба, если его большая диагональ в 4 раза больше радиуса вписанной окружности.Решение.Ответ: Теорема Вариньона. Середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма, периметр которого равен сумме длин диагоналей данного четырехугольника, а площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади четырехугольника.Пример 9.В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали АС = 12 и BD = 10. Найти периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.Решение.Пусть точки M, N, L, Р — середины сторон АВ, ВС, CD и DA четырехугольника ABCD соответственно, тогда MN и PL — средние линии треугольников АВС и ADС. По свойству средней линии MN|| АС ||PL и MN = 0,5АС, PL = 0,5 АС, следовательно, MN = PL. Отсюда следует, что MNLР — параллелограмм.Аналогично, NL = NP = 0,5BD. Следовательно, периметр параллелограмма MNLР:Р = 2(MN + LР) = АС + ВD = 22.Ответ: Пример 10.Расстояния от середины стороны АD выпуклого четырехугольника ABCD до середин сторон АВ и CD равны соответственно 6 и 12. Найти длины диагоналей четырехугольника ABCD.Решение.Пусть точки M, L, Р — середины сторон АВ, CD и DA четырехугольника ABCD соответственно, тогда и PL — средние линии треугольников АВD и ADС. По свойству средней линии MР|| BD, PL || AC и MP = 0,5BD BD = 2МР = 12; PL = 0,5АС АС = 2PL = 24.Ответ: Теорема. Если диагонали выпуклого четырехугольника перпендикулярны, то суммы квадратов противоположных сторон равны. (Верно и обратное).Пример 11.В выпуклом четырехугольнике ABCD AB = 3, BC = 4, CD = 5, а диагонали АС и ВD перпендикулярны. Найти АD.Решение.Пусть диагонали АС и ВD пересекаются в точке О. Обозначим OA = a, OB = b, OC = c, OD = d. Поскольку диагонали АС и ВD перпендикулярны, то треугольники OAB, OBC, OCD, ODA прямоугольные, а стороны четырехугольника ABCD являются их гипотенузами. Поэтому, по теореме Пифагора получаем равенстваAB2 = a2 + b2; BC2 = b2 + c2; CD2 = c2 + d2; DA2 = d2 + a2.Отсюда следует, чтоAB2 + CD2 = a2 + b2 + c2 + d2;BC2 + DA2 = b2 + c2 + d2 + a2.Правые части равны, значит, равны и левые:AB2 + CD2 = BC2 + DA2 32 + 52 = 42 + DA2 DA2 = 32 + 52 – 42 = 18, тогда АD = 3.Ответ: Пример 12.Большая сторона параллелограмма ABCD равна 2, а отношение углов, прилежащих к одной стороне, равно 5. Меньшая диагональ параллелограмма перпендикулярна меньшей стороне. Вычислить меньшую сторону и обе диагонали.Решение.Пусть в параллелограмме ABCD сторона АD = 2, АВ ВD и А = . Тогда В = 5 и по свойству углов параллелограммаА +В = + 5 = 180°.6 = 180°; = 30°, тогда ВD = 0,5 АD = .Теперь по теореме Пифагора Вторую диагональ найдем по свойству сторон и диагоналей параллелограмма2(AB2 + АD2) = AС2 + ВD2 2(39 + 52) = AС2 + 13 АС = 13.Ответ: Пример 13.Два луча, исходящие из вершины прямоугольника и делящие его угол на три равные части, разделили прямоугольник на три равновеликие части. Определить отношение сторон прямоугольника.Решение.Пусть в прямоугольнике ABCD AВ = a, АD = b. Пусть лучи АМ и АР делят прямой угол на равные части и точки Р и М лежат на сторонах прямоугольника ABCD. Пусть точка Р лежит на стороне . Тогда точка М должна лежать на стороне ВС.Действительно, если бы точка М лежала на стороне , то треугольники ADP и ADM не могли бы быть равновеликими, поскольку у этих треугольников была бы общая высота и различные основания, так как DP PM.Из прямоугольного треугольника ADP находим DP = АDtgDAP = btg30 = b/.По условию площадь прямоугольника ABCD в 3 раза больше площади треугольника ADP. Отсюда получаем равенствоАВ·AD = 3·0,5AD·РD a = 1,5b/ a = b/2.Отсюда отношение a : b = /2.Ответ: Пример 14.В параллелограмме ABCD длина отрезка АВ равна 4. Биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке К, а продолжение стороны СD в точке Е. Найти длину отрезка КС, если ЕС = 1.Решение.Ответ: Пример 15.Около четырехугольника со сторонами a, b, c, d описана окружность. Найти косинус угла между, заключенный между сторонами a и b.Решение.Пусть искомый угол равен х. Применим теорему косинусов дважды: для треугольника со сторонами a, b, р имеем: р2 = a2 + b2 – 2 abcosx; для треугольника со сторонами c, d, р имеем: р2 = c2 + d2 + 2cdcosx.Здесь учтено, что около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180°.Приравниваем правые части этих равенств:a2 + b2 – 2abcosx = c2 + d2 + 2cdcosx; 2cosx(ab + cd) = a2 + b2 - c2 - d2.Ответ:  Видеолекция «Параллелограмм. Прямоугольник. Ромб. Квадрат»: