22.
Окружности
Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки.Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.Эта точка (О) называется центром окружности.Расстояние (r) от точки окружности до ее центра называется радиусом окружности. Радиусом называется также любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром.Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности.Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром (d = 2r).Касательная — прямая (а), проходящая через точку (А) окружности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку.При этом данная точка (А) окружности называется точкой касания.Пропорциональные линии в кругеЕсли две хордыАВ и CD пересекаются внутри круга в точке Е, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды, т. е. AЕ · ЕВ = DE · ECУгол между секущими АВ и CD равен AED = (n + m)/2Если из точки, взятой вне окружности, проведены две секущиеАС и AC1, то справедливо равенство AB · AC = АВ1 · АС1.Угол между секущими АС и АC1 равен СAС1 = (n – m)/2.Теорема о квадрате касательнойЕсли из точки, лежащей вне круга, проведены секущаяMB и касательнаяМС, то справедливо равенство МC2 = МВ · МАУгол между секущей и касательной СМВ = (m – n)/2Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, проходит через ее середину.Обратно: если диаметр проходит через середину хорды, то он ей перпендикулярен.Углы в кругеЦентральный угол — угол, образованный двумя радиусами (AOB).Вписанный угол — угол, образованный двумя хордами СА и СВ, исходящими из одной точки на окружности (ACB).Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу (хорду) равны: ACB = AМB = ANB.Вписанный угол, опирающийся на диаметр равен 90°.Центральный угол имеет ту же градусную меру, что и дуга, на которую он опирается ACB = AOB/2.Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.Описанный угол — угол, образованный двумя касательными DM и DN (MDN).Угол, образованный двумя хордами и опирающийся на них центральный угол связаны соотношением .Длина окружности.Длина дуги, соответствующая центральному углу в n° — Площадь кругаКруговой сектор — часть круга, лежащая внутри соответствующего центрального угла.Площадь кругового сектора, где  — градусная мера угла, R — радиус круга.Квадрант — сектор, отсекаемый радиусами, образующими угол 90°.Круговой сегмент — общая часть круга и полуплоскости, граница которой содержит хорду этого круга.Площадь сегмента, не равного полукругу , где  — градусная мера центрального угла, которая содержит дугу этого кругового сегмента,  — площадь треугольника с вершинами в центре круга и концах радиусов, ограничивающих соответствующий сектор. Знак «-» надо брать, когда < 180°, а знак «+», > 180°.Основание и высота сегмента
Круговое кольцо
R, r — внешний и внутренний радиусы;D, d — внешний и внутренний диаметры; — средний радиус; k — ширина кольца.Правила для многоугольников которые можно вписать в окружность и описать окружность вокруг них

Вписанный многоугольник

Описанный многоугольник
В примерах с 1 по 10 надо найти неизвестную величину по рисунку.Пример 1.Определить неизвестный угол по рисунку.Решение.Ответ: Пример 2.Определить неизвестный угол по рисунку.Решение.Ответ: Пример 3.Определить неизвестный угол по рисунку.Решение.Ответ: Пример 4.Определить неизвестный угол по рисунку.Решение.Ответ: Пример 5.Определить неизвестный угол по рисунку.Решение.Ответ: Пример 6.Определить неизвестный угол по рисунку.Решение.Ответ: Пример 7.Определить неизвестный угол по рисунку.Решение.Вокруг четырехугольника окружность можно описать, если сумма противоположных углов равна 180°.Значит = 180 – 40 =140°.Ответ: Пример 8.Определить неизвестный угол по рисунку.Решение.АВЕ = (50 – 20)/2 = 15°.Ответ: Пример 9.Определить неизвестный отрезок по рисунку.Решение.6х = 3·4; х = 2.Ответ: Пример 10.Определить неизвестный отрезок по рисунку.Решение.4·(8 + 4) = 6·(6 + х); 48 = 36 + 6х; 6х = 12; х =2.Ответ: Пример 11.Укажите верные утверждения:
  1. Через одну точку можно провести бесконечное число окружностей.
  2. Через две точки можно провести бесконечное число окружностей.
  3. Через три точки, не принадлежащие одной прямой можно провести единственную окружность.
1) все верные; 2) только А; 3) А и С; 4) А и В.
Ответ: Пример 12.Если радиус круга АО равен 8, АОВ = 135°, то площадь заштрихованной фигуры равна1) 24 – 16; 2) 24 – 16; 3) 48 – 16; 4) 48 – 16.Решение.Площадь сегмента найдем как разность площади сектора и треугольника АОВ: S = Sс – SAOB.Итак, S =24 – 16.Ответ: Пример 13.Точка С лежит на отрезке АВ, причем АС : СВ = 2 : 3. Если площадь круга с диаметром АС равна 25 см2 , то длина окружности с диаметром АВ в см равна1) 12,5; 2) 20; 3) 25; 4) 50.Решение.Пусть одна часть х см, тогда АС = 2х = 2R см. Площадь круга, построенного на АС как на диаметре равна S = R2 = 25 R2 = 25 R = х = 5 см. Тогда диаметр АС = 2·5 = 10 см, а весь отрезок АВ, который равен АВ = 5х = 25 см, а его половина, равная радиусу окружности, построенной на АВ как на диаметре, равна АВ/2 = 12,5 см. Тогда длина окружности с диаметром АВ: С = 2R = 25.Ответ: Пример 14.Хорда АВ стягивает дугу АВ с градусной мерой 143°. Найти градусную меру большего из вписанных углов, опирающихся на дугу АВ.1) 143° ; 2) 163°30 ; 3) 108°30 ; 4) 217°.Решение.Большим из вписанных углов будетАРВ = (360 – 1430)/2 = 217/2 = 108,5° = 108°30.Ответ: Пример 15.Можно ли в четырехугольник ABCD со сторонами AВ = 7 см, ВC = 9 см, СD = 8 cм, AD = 6 см вписать окружность?Решение.Так как суммы противоположных сторон равны:AВ + СD = 7 + 8 = 15 cм,BС + AD = 9 + 6 = 15 cм, то в него можно вписать окружность.Ответ: Пример 16.Можно ли вокруг четырехугольник ABCD с углами A=30°, B=170°, C=75°, D=85° описать окружность?Решение.Так как суммы противоположных углов не равны:A + C = 105°, B + D = 255°, 105° 255° 180°, то вокруг такого четырехугольника нельзя описать окружность.Ответ: Пример 17.Треугольник BMP с углом B, равным 45°, вписан в окружность радиуса 6. Найдите длину медианы BK, если BK пересекает окружность в точке C и CK = 3.Решение.MOP = 2 MBPMOP = 2 · 45° = 90°, следовательно, MOP – прямоугольныйMP2 = OM2 + OP2MP2 = 62 + 62 = 36 + 36 = 36 · 2MP = 6MK = KP = 0,5MP = 3По свойству окружности: MK · KP = BK · KC3·3 = BK · 3; BK · 3 = 9 · 2; BK = 6Ответ: Пример 18.Внутри правильного треугольника со стороной a расположены три равные окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника и двух других окружностей. Найти площадь части треугольника, расположенной вне этих окружностей.Решение.Пусть AB = BC = AC = a.Обозначим O1E = O1K = ED = r, тогда AD = AE + ED = AE + r = a/2.AO1 — биссектриса угла A, следовательно, O1AE = 30° и в прямоугольном AO1E имеем AO1 = 2O1E = 2r и .Тогда AE + r = r + r = a/2, откуда ..Ответ: Пример 19.В выпуклом четырехугольнике ABCD проведены диагонали АС и BD. Найти отношение BDC : DBC, если BAC = 5°, ACB = 15°, AD = CD и DAC = 80°.Решение.Из условия задачи следует, что треугольник ADC — равнобедренный, поэтому DCA = DAC = 80°.Следовательно, BAD = 80 + 5 = 85°, BCD = 80 + 15 = 95°, BAD + BCD = 85 + 95 = 180°.Тогда сумма углов АВС и ADC равна 360 – 180 = 180°. Значит, вокруг четырехугольника ABCD можно описать окружность. Углы BDC и ВАС вписаны в эту окружность и опираются на одну и ту же дугу ВС, следовательно, они равны, то есть BDC = BAC = 5°. Аналогично DBC = DAC = 80°, так как оба эти угла опираются на дугу DC. Отсюда BDC : DBC = 5 : 80 = 1 : 16.Ответ: Пример 20.Две окружности касаются внешним образом. К первой из них проведена касательная, проходящая через центр второй окружности. Расстояние от точки касания до центра второй окружности равна утроенному радиусу этой окружности. Во сколько раз длина первой окружности больше длины второй окружности?Решение.Пусть О1 и О2 — центры окружностей, А — точка касания (рис.).Тогда О1А = R1, О1О2 = R1 + R2, О2А = 3 · R2 (по условию).Требуется найти отношение 2R1 : 2R2 = R1 : R2.В прямоугольном треугольнике О1АО2 (А — прямой) имеем O1O22 = O1A2 + O2A2, или (R1 + R2)2 = R12 + (3R2)2. Упростив это равенство, получим R1 = 4R2, откуда R1 : R2 = 4.Ответ:  Видеолекция «Окружности»: