23.
Декартовы координаты. Уравнения фигур. Векторы
Декартовы координатыСистема, состоящая из начала координат О(0; 0) и взаимно перпендикулярных координатных осей, называется декартовой системой координат на плоскости, а координаты точек — декартовыми координатами.В декартовой системе координат на плоскости имеют место следующие формулы:ВекторыВектор — это направленный отрезок. Его длиной считают длину отрезка.Если даны две точки M1 (x1,y1) и M2 (x2,y2) то координаты вектораРасстояние между двумя точками — это длина отрезка М1М2 или длина вектораn:Действия с векторамиЕсли даны два вектора , тоРазложение вектора по двум векторамТри ненулевых вектора a, b, c лежат в одной плоскости (компланарные), когда один из них выражается через два других, т.е. , где n, m — числа.Любой вектор можно разложить с помощью единичных векторов координатной плоскости следующим образом: .Проекция вектора на осьПусть m — ось,  — ее орт. Тогда проекцией любого ненулевого вектора на ось m называется число .Например, проекция вектора на вектор вычисляется по формуле: .Уравнения фигур на плоскости
  1. Общее уравнение прямой: ax + by + c = 0.
  2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом k: y = kx + b.
  3. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку А(х0; у0):.
  4. Уравнение прямой в отрезках: , где a, b — отрезки, отсекаемые прямой на осях абсцисс и ординат соответственно.
  5. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки А(х1; у1) и В(х2; у2):.
  6. Парабола: y = ax2 + bx + c; y = px2.
  7. Гипербола: .
  8. Эллипс:
  9. Окружность с центром в начале координат радиуса R: x2 + y2 = R2.
  10. Окружность с центром в точке (a, b) радиуса R: (x - a)2 + (y - b)2 = R2.
Взаимное расположение фигур на плоскостиРасстояние от точки А(х0 ; у0) до прямой вычисляется по формуле .Взаимное расположение прямых, заданных общими уравнениями:a1x + b1y + c1 = 0 и a2x + b2y + c2 = 0Взаимное расположение прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами: y = k1x + b1 и y = k2x + b2Пример 1.Найти косинус угла между векторами a = (4; 3) и b = (0;12).Решение.Поскольку координаты векторов даны, подставляем их в формулу:.Ответ: Пример 2.Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (2;3), (10;3), (5;8), (3;8).Решение.Воспользуемся формулой нахождения площади трапеции: , где a, b — длины оснований трапеции, h — высота трапеции. Обратимся к иллюстрации. Вычислим а = 10 - 2 = 8, аналогично b = 5 - 3 = 2. Мы воспользовались приемом нахождения длины отрезка в системе координат. Вычислим высоту трапеции: h = 8 - 3 = 5.Таким образом, .Ответ: Пример 3.Найти проекцию вектора на вектор .Решение.Найдем искомую проекцию по формуле:Ответ: Пример 4.Установить взаимное расположение двух прямых:n: 5х – 2у + 7 = 0; m: 5х – 2у + 11 = 0.1) пересекаются; 2) параллельны; 3) перпендикулярны; 4) совпадают.Решение.Проверим условие параллельности. Если прямые заданы уравнениями: a1x + b1y + c1 = 0 и a2x + b2y + c2 = 0, то они параллельны, если a1b2 - a2b1 = 0. В нашем случае 5(– 2) – (– 2)5 = – 10 + 10 = 0, следовательно прямые параллельны, что соответствует варианту 2).Ответ: Пример 5.Найти длину вектора .Решение.Данная запись означает, что вектор a имеет координаты , тогда его длина равна .Ответ: Пример 6.Определите координаты центра окружности и длину радиуса окружности, заданной уравнением: (х + 3)2 + (у – 5)2 = 121.1) (3; – 5), R = 11; 2) ( – 3; 5), R = 121; 3) ( – 3; 5), R = 11; 4) ( 3; 5), R = 11.Решение.Окружность с центром в точке (a, b) радиуса R: (х + a)2 + (у – b)2 = R2. Поэтому имеем центр в точке (– 3; 5), а радиус R = 11, что соответствует варианту 3).Ответ: Пример 7.Найти координаты точки пересечения прямых, представленных на рисунке.Решение.Для нахождения координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:Ответ: Пример 8.Найти координаты середины отрезка АВ, если А(1; – 2), В(5; 6).Решение.Воспользуемся формулой середины отрезка :Координаты середины отрезка (точки С) с концами в точках M1 (x1, y1) и M2 (x2, y2):.Получим .Ответ: Пример 9.Какие из точек А(1; 2), В(3; 4), С(– 4 ; 3), К(0; 5), Р(5; – 1) - принадлежат окружности, заданной уравнением: х2 + у2 = 25?1) А, В; 2) В, С; 3) А, Р; 4) В, С, К.Решение.Подставим координаты всех точек по очереди в уравнение окружности и проверим равенство.Из ответов верным является 4).Ответ: Пример 10.Найти координаты точки В, если .Решение.Пусть В(х; у). По правилу вычисления координат вектора имеем:.Координаты находим из уравнений: х – 1 = 4, х = 5; у + 3 = – 3, у = – 6.Ответ: Пример 11.По данному чертежу определите уравнение окружности.
    1) (х + 3)2 + (у + 3)2 = 3.2) (х + 3)2 + (у +3)2 = 16.3) (х – 3)2 + (у – 3)2 = 4.4) (х – 3)2 + (у – 3)2 = 16.
Решение.
Согласно рисунку центр круга в точке (3; 3), а радиус R = 4. Получим уравнение окружности:(х – 3)2 + (у – 3)2 = 16, что соответствует варианту 4).Ответ: Пример 12.ABCD — параллелограмм, точки К и М — середины сторон BC и CD соответственно.Если то вектор КМ равен:Решение.Вектор BD найдем как разность векторов: .Векторы КМ и BD сонаправлены. По свойству средней линии треугольникаКМ = BD/2 или для векторов: . Это второй вариант ответов.Ответ: Пример 13.Даны векторы . Противоположно направленными среди них являютсяРешение.Противоположно направленными называются векторы, которые параллельны, т.е. их координаты пропорциональны с отрицательным коэффициентом пропорциональности.Разделив покоординатно, проверим каждый из четырех вариантов:Ответ: Пример 14.Найти длину медианы, проведенной из точки С в треугольнике АВС, если координаты вершин треугольника: А(-7; -2), В(1; 4), С(5; -5).Решение.Изобразим на рисунке треугольник и для удобства, подпишем координаты вершин. Точка М — середина отрезка АВ, ее координаты . Тогда длину отрезка СМ, с координатами концов М(-3; 1), С(5; -5) найдем по формуле .Ответ:  Видеолекция «Декартовы координаты. Уравнения фигур. Векторы»: