26.
Задачи на работу и производительность
В определенном смысле задачи на работу схожи с задачами на движение. Сравните формулы: S = vt, V = vt. Роль скорости v здесь играет производительность труда, а роль расстояния S — объем работы V.Задачи на совместную работуДля понимания схемы решения задач на совместную работу, рассмотрим упрощенную модель.Пример 1.Вася с Колей мастерят из бумаги кораблики. Вася может сделать за 1 час 15 корабликов, а Коля только 10. Сколько времени им потребуется на 100 корабликов?Решение.За 1 час мальчики делают 15 + 10 = 25 корабликов. Значит, 100 корабликов они сделают за 100 : 25 = 4 часа.Ответ: Итак, если дан общий объем работы и производительности труда «участников» задачи, то время совместной работы находят, разделив объем работы на совместную производительность труда:Пример 2.Вася выполняет свою работу за 2 часа, а Коля — за 3 часа. Сколько времени они потратят, если будут делать эту работу вдвоем?Решение.Скорость работы каждого из мальчиков: v1 = V / t1 , v2 = V / t2 подставим в формулу (1): Поэтому, когда в задаче объем работы в явном виде не задан, его иногда удобно принять равным единице.В нашей задаче tсовм = (2 · 3) / (2 + 3) = 1,2 (ч).Ответ: Иногда в задачах на совместную работу можно обойтись без решения уравнений, используя только арифметический способ. Правда, для этого порой приходится прибегать к гипотетическим допущениям. Рассмотрим такой пример.Пример 3.Маша и Даша за день могут прополоть 3 грядки, Даша и Глаша — 4 грядки, а Глаша и Маша — 5 грядок. Спрашивается, сколько грядок за день смогут прополоть девочки, работая втроем?Решение.Ответ: Пример 4.Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?Решение.Составим для удобства таблицу:

 

V
(объем работы)

v  
(производительность)

t
(время работы)

1-й рабочий

V

15

2-й рабочий

V

15

1-й рабочий

3

Вместе

 

Учитывая, что 1-й рабочий проработал 3 часа, а вместе работу доделали за 6 часов. Общее время работы 3 + 6 = 9 часов.Ответ: Задачи на бассейныИногда в задачах на работу выделяют группу задач на трубы и бассейны, решение которых, вообще говоря, не имеет никаких специфических черт по сравнению с другими задачами на совместную работу. Математическая модель остается той же. Только рабочим будут соответствовать насосы разной производительности, а объему работы — объем бассейна или иного резервуара.Пример 5.Первая труба пропускает 15 литров воды в минуту, а вторая — 10. За сколько минут обе трубы наполнят бассейн, объемом 100 литров?Решение.Через 1 минуту из 1-й трубы нальется 15 литров, а из второй — 10. Значит, за минуту обе трубы наливают 15 + 10 = 25 литров. Тогда бассейн в 100 литров они наполнят за время 100 : 25 = 4 минуты.Ответ: Итак, если дан объем резервуара и производительности работы труб (насосов), то время их совместной работы находят, разделив объем резервуара на совместную производительность труб:Если в задаче объем резервуара в явном виде не задан, его иногда удобно принять равным единице:Пример 6.Первая труба пропускает на 6 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если бак, объемом 360 литров она заполняет на 10 минут медленнее, чем вторая труба?Решение.Составим для удобства таблицу:

 

V

v

t

1-я труба

360

v - 6

2-я труба

360

v

На 10 минут разница означает равенство:360 / (v - 6) = 360/v + 10, |:10; 36 / (v - 6) = 36/v + 1, v(v - 6) + 36v - 36·6 - 36v = 0;v2 - 6v - 216 = 0; v1 = - 12 – не удовлетворяет условию, v2 = 18.В задаче спрашивается скорость работы первой трубы, т.е. 18 - 6 = 12 л/мин.Ответ: Тренировочные задачиПример 7.Двое рабочих выполнили работу за два дня. Если бы первый рабочий проработал 2 дня, а второй 1 день, то они вместе выполнили бы 5/6 всей работы. За сколько дней выполнит эту работу первый рабочий?Решение.

 

V
(объем работы)

v
(производительность)

t
(время работы)

Вместе

V = 1

х + у

1-й рабочий

х

2

2-й рабочий

у

1

Обозначим всю работу за 1, производительность первого рабочего за х, а производительность второго рабочего за у. Тогда, совместная производительность равна х + у. А на выполнение всей работы им потребуется 1 / (х + у) дней, по условию: 1 / (x + y) = 2. За два дня первый рабочий сделает , а второй рабочий — , всего они выполнят 2х + у = 5/6. Получили систему: Решая эту систему, найдем производительности рабочих: Тогда время, которое затратит первый рабочий на выполнение всей работы равно: дня.Ответ: Пример 8.Ученик прочел книгу в 480 страниц, ежедневно читая одинаковое количество страниц. Если бы он читал каждый день на 16 страниц больше, то прочел бы книгу на 5 дней раньше. Сколько дней ученик читал книгу?Решение.Пусть ученик читал в день x страниц. Тогда он прочитал книгу за 480 / x дней. Если бы он читал x + 16 страниц в день, то он прочитал бы книгу за 480 / (x + 16) дней, что на 5 дней меньше. Получаем уравнение: Решая его, находим, что ученик в день читал x = 32 страницы и прочитал книгу за 15 дней.Ответ: Пример 9.Двое рабочих выполнили работу менее, чем за 4 часа. Если бы первый выполнял ее в одночку, он сделал бы работу на 6 часов быстрее, чем второй. Какие значения может принимать время выполнения работы первым из рабочих, работающим отдельно?Решение.Обозначим всю работу за 1, производительность первого рабочего за х, а производительность второго рабочего за у. Тогда, совместная производительность равна х + у. А на выполнение всей работы им потребуется 1/ (x + y) дней, по условию: 1/ (x + y) < 4. Время, за которое может выполнить работу первый рабочий выражается: 1 / x, а время второго: 1 / y. По условию: 1/x +6 = 1/y. Итак, получили систему: Так как производительность — величина положительная, то неравенства в системе равносильно следующему: 4x + 4y > 1. Выразим x из уравнения и подставим в неравенство: Решая это неравенство, получаем: x > 1/4 или x < -1/3. Условию соответствует первое неравенство. Следовательно, 1/x < 4.Ответ:  Видеолекция «Задачи на работу и производительность»: