27.
Задачи на сплавы и смеси
В данном разделе рассматриваются задачи, в которых речь идет о смесях (растворах) некоторого вещества в другом веществе и об изменении концентрации этого вещества после каких-либо манипуляций. При этом водные растворы, смеси или сплавы играют сходные роли и позволяют лишь несколько разнообразить сюжеты задач без изменения математического содержания.Ключевой при решении таких задач является идея отслеживания изменений, происходящих с «чистым» веществом (далее кавычки будем опускать).Пример 1.Дано: m1 кг — масса вещества А, в котором присутствует вещество В с концентрацией р1% ; m2 кг — масса вещества А, в котором присутствует вещество В с концентрацией р2% . Чему равна процентная концентрация смеси этих масс?Решение.m1p1 + m2p2 = p(m1 + m2), откуда p = (m1p1 + m2p2)/(m1 + m2).Пример 2.Даны два куска с различным содержанием олова. Первый, массой 300 г, содержит 20% олова. Второй, массой 200 г, содержит 40% олова. Сколько процентов олова будет содержать сплав, полученный из этих кусков?Решение.m1p1 + m2p2 = p(m1 + m2)300·20 + 200·40 = р(300 + 200), откуда р = 14000/500 = 28%.Ответ: Пример 3.В сосуд, содержащий 5 литров 12%-го водного раствора кислоты, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?Решение.Учтем, что вода имеет концентрацию кислоты 0%.m1p1 + m2p2 = p(m1 + m2)5·12 + 7·0 = р (5 + 7); р = 5 (%)Ответ: Пример 4.Имеется чай двух сортов — по 80 и 120 рублей за 1 кг. Смешали 300г первого и 200г второго сорта. Определить цену за 1 кг полученной смеси.Решение.300·80 + 200·120 = р(300 + 200), откуда р = 48000/500 = 96 (руб/кг)Ответ: Пример 5.Дано: кусок вещества А, в котором присутствует вещество В с концентрацией р1% ; кусок вещества А, в котором присутствует вещество В с концентрацией р2% . По сколько грамм от каждого куска надо взять, чтобы получить m грамм смеси, содержащей р% вещества В?Решение.m1p1 + (m – m1)p2 = mp; m1p1 + mp2 – m1p2 = mp; m1(p1 – p2)= mp – mp2,m1(p1 – p2) = m(p – p2), откуда m1 = (m(p – p2)) / (p1 – p2).Пример 6.Торговец продает орехи двух сортов: 1-й — по 90 центов, 2-й — по 60 центов за 1 кг. Он хочет получить 50 кг смеси по 72 цента за кг. Сколько для этого потребуется взять орехов каждого сорта?Решение.m1p1 + m2p2 = p(m1 + m2)m1·90 + (50 – m1 )·60 = 50·72, откуда находим m1 = 20 (кг), m2 = 30 (кг).Ответ: Пример 7.Сколько фунтов меди надо сплавить с 75 фунтами серебра 72-й пробы, чтобы получить серебро 64-й пробы.Решение.Учтем, что медь имеет концентрацию серебра 0% .m1p1 + m2p2 = p(m1 + m2)75·72 + m· 0 = 64(75 + m), m = 9,375 (фунтов)Ответ: Пример 8.Дано: кусок вещества А, в котором присутствует вещество В с концентрацией р1% ; кусок вещества А, в котором присутствует вещество В с концентрацией р2% . В каком отношении (по массе) надо сплавить части этих кусков, чтобы получить сплав, содержащий р% вещества В?Решение.m1p1 + m2p2 = p(m1 + m2). Подставим m1 = km2km2p1 + m2p2 = p(km2 + m2) | : m2;kp1 + p2 = p(k + 1); kp1 + p2 = pk + p; kp1 – pk = p – p2 ; k(p1 – p)= p – p2 ;k = (p – p2) / (p1 – p).Ответ: По схеме примера 8 решаются и задачи вида:Дано:1 и 2 — плотности двух веществ,  — плотность и их смеси. В каком отношении (по объему) смешаны эти вещества?Решение.Пусть V1 и V2 — объемы этих веществ. Масса смешиваемых веществ равна массе смеси, т.е. выполняется равенство, аналогичное предыдущей задачи:V11 + V22 = (V1 + V2). Подставим V1 = kV2 k= (2) /(1).Пример 9.Торговец продает вино двух сортов: по 10 и по 6 гривен за ведро. Какие части этих вин ему надо взять, чтобы получить вино ценою в 7 гривен за ведро?Решение.10m1 + 6m2 = 7(m1 + m2). Подставим m1 = km210 km2 + 6m2 = 7(km2 + m2) | : m2; 10k + 6 = 7(k + 1); k = 1/3;3m1 = m2. Это значит из четырех частей вина одна часть по 6 гривен, а три части — по 10 гривен.Ответ: Задачи на пропорцииДанный тип задач трудно оформить в виде конкретных формул. Зато легко понять принцип решения.Пример 10.Сколько томат-пасты, содержащей 30% воды, получится из 28 тонн томатов, содержащих 95% воды?Решение.Составим два «уравнения» до и после выпаривания, учитывая, что при выпаривании «сухая часть» томатов не меняется, а уменьшается вода:

Сух. вещество +

Вода =

Томаты

выпаривание

Сух. вещество +

Вода =

Паста

5%

95%

100%

     

70%

30%

100%

1,4 т

 

28т

     

1,4 т

 

X т

В первом «уравнении» 1,4 т нашли из пропорции: у т – 5%28 т – 100%у = 28·5 : 100 =1,4. Во втором «уравнении» получили пропорцию:1,4 т – 70% Х т – 100%Х = 1,4·100:70 = 2(т)Ответ: Пример 11.Некий леспромхоз решил вырубить сосновый лес, но экологи запротестовали. Тогда директор леспромхоза успокоил всех, сказав: «В нашем лесу 99% деревьев — это сосны. После рубки сосна будет составлять 98% всех деревьев». Какую часть леса вырубит леспромхоз?Решение.Составим два «уравнения» до и после вырубки:

Сосны+

Ост. деревья =

Лес

вырубка

Сосны+

Ост. деревья =

Лес

99%

1%

100%

     

98%

2%

100%

 

 

 

     

 

1%

X

Так как остальные деревья остаются нетронутыми, можем составить пропорцию:1% – Х%2% – 100%Х = 100 ·1 : 2 = 50%Если бы экологи лучше знали проценты, то директору леспромхоза не удалось бы их так легко перехитрить.Ответ: Пример 12.Груши, содержащие 65% воды, при сушке потеряли 50% своей массы. Сколько процентов воды содержат сушеные груши?Решение.Составим два «уравнения» до и после сушки учитывая, что при сушке «сухая часть» груш не меняется, а уменьшается вода:

Сух. вещество +

Вода =

Груши

выпаривание

Сух. вещество +

Вода =

Суш. груши

35%

65%

100%

     

35%

15%

50%

 

 

 

     

 

Х т%

100%

Процент воды, найдем из пропорции:Х% – 15% 50% – 100%Х = 50 15 : 100 = 30%Ответ:  Видеолекция «Задачи на сплавы и смеси»: