28.
Арифметическая прогрессия
Последовательность чисел, каждый следующий член которой равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией. Это число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается буквой d.Рекуррентная формула n-го члена: an+1 = an + dФормула n-го члена: an = a1 + d(n - 1)Сумма первых n членов 1-я формула: Сумма первых n членов 2-я формула: .Характеристическое свойство: Свойство крайних членов: a1 + an = a2 + an-1 = a3 + an-2 = ….Если d > 0 арифметическая прогрессия является монотонно возрастающей.Если d < 0 арифметическая прогрессия является монотонно убывающей.Пример 1.Том Сойер и Гекльберри Финн красят забор длиной 100 метров. Каждый следующий день они красят больше, чем в предыдущий, на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме они покрасили 20 метров забора. За сколько дней был покрашен весь забор?Решение.Пусть ребята в первый день покрасили a1 метров забора, во второй — а2 метров и т.д., в последний — аn метров забора. Тогдаa1 + аn = 20 (м), а за n дней было покрашено (м).Поскольку всего было покрашено 100 м забора, имеем: 10n = 100, откуда n = 10.Ответ: Пример 2.Вычислить: 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + … + 999 999 – 1 000 000.Решение.Представим данное выражение в виде разности сумм:(1 + 3 + 5 + … + 999 999) – (2 + 4 + 6 +…+ 1 000 000) = S1 – S2Ответ: Пример 3.Вычислить сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 1112 и не делящихся на 15.Решение.Найдем все числа, которые делятся на 15 = 3·5: 15; 30; 45; …; 1110., S74 = (2·15 + 15(74 – 1))·74/2 = 41 625 — это сумма всех натуральных чисел кратных 15.S1112 = (2·1 + 1(1112 – 1)) ·1112/2 = 618 828 — это сумма всех натуральных чисел 1112.S1112 – S74 = 618 828 – 41 625 = 577 203.Ответ: Пример 4.Среди чисел вида (5n + 2)/7, n N, найти сумму первых 70-ти целых чисел.Решение.Все целые числа данного вида это: 1; 6; 11; 16; … . (Их получим, если будем подставлять в формулу n-го члена n = 1, n = 2,…, n = 8, …,n = 15 и т.д.), ,a70 = 1 + 5(70 – 1) = 346,S70 = (2·1 + 5(70 – 1))·70/2 = 347·70/2 = 12 145.Ответ: Пример 5.Среди чисел вида 3n + 1, n N, найти сумму первых 30-ти, которые при делении на 5 дают в остатке 2.Решение.Числа, которые при делении на 5 дают в остатке 2, имеют вид 5k + 2.Найдем данные числа: 5(3n + 1) + 2 = 15n + 7, т.е. это: 7; 22; 37;…, ,a30 = 7 + 15(30 – 1) = 442,S30 = (7 + 442))·30/2 = 6 735.Ответ: Пример 6.Найти все значения х, при которых числа 4х2, 5х + 10 и 12 – 6х2 являются последовательными членами арифметической прогрессии, в указанном порядке.Решение.Данные числа будут последовательными членами арифметической прогрессии, если второе число является средним арифметическим первого и второго:.5х + 10 = (4х2 + 12 – 6х2)/2, 2(5х + 10 ) = 12 – 2х2, 2х2 + 10х – 8 = 0, х2 + 5х – 4 = 0.Корни последнего уравнения – 4 и – 1.Ответ: Пример 7.В арифметической прогрессии второй член равен 5, разность равна 3, а сумма первых n членов прогрессии равна 222. Найти n.Решение.Зная второй член прогрессии и разность, находим первый членa1 = 5 – 3 = 2. По формуле суммы находим:222 = (4 + 3(n – 1))n/2; 444 = 4n + 3n2 – 3n; 3n2 + n – 444 = 0.Натуральный корень последнего уравнения 12.Ответ: Пример 8.Найти сумму членов арифметической прогрессии a1 + a11 + a12 + a22, если a3 + a20 = 24.Решение.a3 + a20 = a1 + 2d + a1 + 19d = 2a1 + 21d = 24.a1 + a11 + a12 + a22 = a1 + a1 + 10d + a1 + 11d + a1 + 21d = 4a1 + 44d = 2(2a1 + 21d) = 48.Ответ: Пример 9.Найти сумму всех членов арифметической прогрессии 8; 6; … с шестого по двенадцатый включительно.Решение.Разность прогрессии равна d = 6 – 8 = – 2. По формуле , найдем a6 = 8 – 2(6 – 1) = 8 – 12 + 2 = –2. С 6-го по 12-й ровно n = 7 членов.; S7 = (2·(–2) –2(7 – 1))7/2 = (–4 –14 + 2)3,5 = – 56.Ответ: – 56.Пример 10.В арифметической прогрессии восьмой член равен – 22, а двадцатый равен – 58. Найти первый член этой прогрессии.Решение.Вычтем из 2-го уравнения 1-е, получим: – 36 = 12d, d = – 3.Тогда a1 = – 22 + 3·7 = – 1.Ответ: Пример 11.В арифметической прогрессии второй член равен 3, а сумма 18 первых членов равна 1539. Найти разность этой прогрессии.Решение.Подставим все данные в формулы:, ,3 = a1 + d, откуда a1 = 3 – d,1539 = (2a1 + 17d)18/2, 1539 = (2a1 + 17d)9 |:9, 171 = 2a1 + 17d,171 =2(3 – d) + 17d, 171 = 6 – 2d + 17d, 15d = 165, d =11.Ответ: Пример 12.В арифметической прогрессии отношение третьего члена к девятому равно 4. Найти отношение пятьдесят первого к пятнадцатому.Решение.Подставим данные задачи в формулу: ,a1 + 2d = 4(a1 + 8d), 3a1 = – 30d, a1 = – 10d.(a1 + 50d) : (a1 + 14d) = (– 10d + 50d) : (– 10d + 14d) = 40d : 4d = 10.Ответ:  Видеолекция «Арифметическая прогрессия»: