29.
Геометрическая прогрессия
Последовательность чисел, каждый следующий член которой равен предыдущему, умноженному на одно и то же число, называется геометрической прогрессией. Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается буквой q.Рекуррентная формула n-го члена: bn+1 = bn q.Формула n-го члена: bn = b1 qn-1.Сумма первых n членов 1-я формула: .Сумма первых n членов 2-я формула: .Сумма бесконечной геометрической прогрессии (|q| < 1): .Характеристическое свойство: .Если b1 > 0 или b1 < 0 и 0 < q < 1, то прогрессия является возрастающей.Если b1 > 0 и 0 < q < 1 или b1 < 0 и q > 1 , то прогрессия является убывающейЕсли q < 0, то геометрическая прогрессия является знакопеременной: ее члены с нечетными номерами имеют тот же знак, что и ее первый член, а члены с четными номерами — противоположный ему знак. Знакопеременная геометрическая прогрессия не является монотонной.Пример 1.Найдите разность восьмого и шестого членов геометрической прогрессии, если их сумма равна 16, а произведение второго и двенадцатого членов этой прогрессии равно 28.Решение.bn = b1 qn-1Составим систему уравнений по условию задачи:(16 – b6)b6 = 28, b62 – 16b6 + 28 = 0, b6 = 14 или b6 = 2. Тогда b8 = 2 или b8 = 14.b8 – b6 = – 12 или b8 – b6 = 12.Ответ: Пример 2.Найдите x, если известно, что числа x – 2, , x + 5 являются последовательными членами геометрической прогрессии (в указанном порядке).Решение.Воспользуемся характеристическим свойством прогрессии:(x – 2)(x + 5) = 6x, x2 – 3x – 10 = 0, x = 5 или x = – 2. По условию x > 0.Ответ: Пример 3.Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если разность ее тридцатого и двадцать седьмого членов в 30 раз больше суммы двадцать шестого, двадцать седьмого и двадцать восьмого членов.Решение.Используя формулу общего члена прогрессии bn = b1 qn-1, запишем условие задачи:b30 – b27 = b1q29 – b1q26 = b1q26(q3 – 1).b26 + b27 + b28 = b1q25 + b1q26 + b1q27= b1q25(1 + q + q2).Согласно условию составим уравнение: b1q26(q3 – 1) = 30 b1q25(1 + q + q2) |: b1q25q(q – 1)(1 + q + q2) = 30(1 + q + q2)|: (1 + q + q2) , q2 – q – 30 = 0, q = 6 или q = –5.Ответ: Пример 4.Если тринадцатый член геометрической прогрессии увеличить в 12 раз и сложить с пятнадцатым членом, то получится число, в 7 раз большее ее четырнадцатого члена. Найдите знаменатель прогрессии.Решение.Согласно условию составим уравнение: 12b13 + b15 = 7b14.Используя формулу общего члена прогрессии bn = b1 qn-1, получим уравнение:12b1q12 + b1q14 = 7b1q13|: b1q12, q2 – 7q + 12 = 0, q = 4 или q = 3.Ответ: Пример 5.Найдите знаменатель геометрической прогрессии, у которой отношение седьмого члена к шестому в 7 раз меньше отношения шестого члена к четвертому.Решение.Подставим в условие задачи: b6 / b4 = 7·b7 / b6 формулу общего члена прогрессии bn = b1 qn-1, получим (b1q5) / (b1q3) = 7·(b1q6) / (b1q5) , откуда q2 = 7q, q = 7.Ответ: Пример 6.Существует ли геометрическая прогрессия, в которой третий член равен 9, а девятый член равен — 3?Решение.Пусть такая прогрессия существует, тогда согласно условию:b3 = b1q2 = 9,b9 = b1q8 = – 3.Разделим второе уравнение на первое, получим: q6 = – 1/3.Полученное равенство невозможно ни при каком q, поскольку выражение q6 принимает только положительные значения.Значит, предположение неверно, такая прогрессия не существует.Ответ: Пример 7.Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если ее пятьдесят первый член в 36 раз меньше ее пятьдесят третьего члена.Решение.Из условия задачи находим: : b53 / b51 = 36Используя формулу общего члена прогрессии bn = b1 qn-1, получим:(b1 q52) / (b 1 q50) = 36 , q2 = 36, q = 6 или q = – 6.Ответ: Пример 8.Первый член бесконечной геометрической прогрессии на 8 больше второго, а сумма ее членов равна 18. Найти третий член прогрессии.Решение.Выразим первый член прогрессии, используя формулу общего члена:b1 = b2 + 8, b1 = b1q + 8, b1(1 – q) = 8, b1 = 8 / (1 - q).Подставим полученное значение для первого члена в формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии: .18 = b1 / (1 - q), 18(1 – q) = b1, 18(1 - q) = 8/(1 - q), (1 – q)2 = 8/18 = 4/9,1 – q = 2/3 или 1 – q = – 2/3, откуда q = 1/3 или q = 1 2/3 > 1, не подходит, т.к. |q| < 1.Тогда b1 = 8/(1 - q) = 8/(1 - 1/3) = 4/3.b3 = b1q2 = 4/3 ∙ (1/3)2 = 4/27.Ответ: Пример 9.Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 1,5, а сумма квадратов ее членов равна 1,125. Найти первый член и знаменатель прогрессии.Решение.Если вынесем общий множитель в выражении для суммы квадратов членов прогрессии, то можно заметить, что в скобках получим новую бесконечную геометрическую прогрессию с первым членом, равным 1 и знаменателем q2:S = b12 + b22 + b32 +… = b12 + b12 q2 + b12 q4 +… = b12(1 + q2 + q4 +…) = 1,125 , поэтому S = b12 / (1 - q2) =`9/8.Запишем теперь оба условия задачи в виде системы: Разделим 2-е уравнение на 1-е: Приравняем правые части полученных уравнений и найдем q:Тогда b1 = (3/4) · (1 + q) = 3/4 · 4/3 = 1.Ответ: Пример 10.Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии равна 4, а сумма кубов ее членов равна 64/7. Найти сумму квадратов членов этой прогрессии.Решение.Если вынесем общий множитель в выражении для суммы кубов членов прогрессии, то можно заметить, что в скобках получим новую бесконечную геометрическую прогрессию с первым членом, равным 1 и знаменателем q3:S = b13 + b23 + b33 +… = b13 + b13 q3 + b13 q6 +… = b13(1 + q3 + q6 +…) = 64/7, поэтомуЗапишем теперь оба условия задачи в виде системы: Разделим 2-е уравнение на 1-е: Если возведем второе уравнение системы в квадрат, то сможем приравнять правые части полученных уравнений и найти q:16/7 (1 + q + q2) = (4(1 - q))2,16/7 (1 + q + q2) = 16(1 - 2q + q2)|:16,1 + q + q2 = 7(1 – 2q + q2), 1 + q + q2 = 7 – 14q + 7q2, 6q2 – 15q + 6 = 0|:3,2q2 – 5q + 3 = 0, q = 0,5 или q = 2 > 1, поэтому корень исключаем.Тогда b11 = 4(1 – 0,5 ) = 2.А искомая сумма S = b12 + b22 + b32 +… = b12 + b12q2 + b12q4 +… = b12(1 + q2 + q4 +…)или Ответ: Пример 11.Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 6. Найти сумму первых пяти ее членов, если первый член равен 4.Решение.Пусть b1 — первый член прогрессии, S — ее сумма. ТогдаОтвет: Пример 12.У гражданина Петрова 1 августа 2000 года родился сын. По этому случаю он открыл в некотором банке вклад в 1000 рублей. Каждый следующий год 1 августа он пополнял вклад на 1000 рублей. По условиям договора банк ежегодно 31 июля начислял 20 % на сумму вклада. Через 6 лет у гражданина Петрова родилась дочь, и он открыл в другом банке ещё один вклад, уже в 2200 рублей, и каждый следующий год пополнял этот вклад на 2200 рублей, а банк ежегодно начислял 44% на сумму вклада. Через сколько лет после рождения сына суммы на каждом из двух вкладов сравняются, если деньги из вкладов не изымаются?Решение.Через n лет в первом банке будет сумма: (руб).Через n — 6 лет во втором банке окажется: (руб).Приравняем эти суммы и решим полученное уравнение:5000(1,2n+1 - 1) = 5000(1,44n-5 - 1)1,2n+1 = 1,44n-51,2n+1 = 1,22(n-5)n + 1 = 2n - 10, n = 11.Ответ:  Видеолекция «Геометрическая прогрессия»: