1.
Элементы теории множеств
Необходимое и достаточное условияПусть и некоторые утверждения. Под утверждением понимается некоторое высказывание, относительно которого мы можем сказать, что оно истинно, или, наоборот, оно ложно. Например, утверждениями в указанном смысле будут следующие высказывания: «Число 2 — натуральное», «», «», «». Очевидно, что первые три высказывания являются истинными, а последнее — ложным.В математике часто используют высказывания типа «из утверждения следует утверждение » (обычно для краткости это обозначают как ). В более подробном варианте то же высказывание означает, что если истинно утверждение , то будет истинно утверждение . В этом случае говорят, что является необходимым условием . Про то же самое соотношение можно сказать, что является достаточным условием . Легко проверить, что указанные здесь определения необходимого и достаточного условий являются математическими выражениями обычных бытовых понятий необходимости и достаточности. В самом деле, когда мы говорим, что является необходимым условием , то выражаем тот факт, что если истинно , то выражение обязательно должно быть истинным, поскольку это определено высказыванием . И наоборот, когда мы говорим, что является достаточным условием , то в силу все того же высказывания имеем ввиду, что для установления истинности утверждения нам достаточно проверить истинность утверждения , и тогда истинность утверждения будет следовать из соотношения . Вообще говоря, проверка истинности утверждения не единственный путь проверить истинность утверждения , и в этом смысле не является необходимым условием , то есть утверждение может выполняться даже когда утверждение неверно. Из приводимых ниже примеров можно видеть, что если из , то из может и не следовать ().Пример 1.Пусть утверждение есть «Число », а утверждение  — «Произведение ». Мы можем сказать, что , поскольку если , то при умножении его на любое число будет нуль. И в смысле данных выше определений, можем заключить, что является необходимым условием (из того, что равно нулю, следует, что и произведение будет равно нулю), а является достаточным условием (для того чтобы произведение было равно нулю, достаточно, чтобы один из множителей был равен нулю). Легко увидеть, что из , то есть если произведение , то оно может зануляться за счет второго из множителей , а первый множитель может оставаться отличным от нуля.Пример 2.Пусть утверждение есть «», а утверждение  — «». Аналогично предыдущей задаче можно сказать, что , поскольку если , то при возведении его в квадрат будет единица. То есть является необходимым условием (из того, что равно единице, необходимо, что и будет равно единице), а является достаточным условием (для того, чтобы было равно единице, достаточно, чтобы был равен единице). Наоборот, из , то есть если , то необязательно должен быть равен единице, а может быть и .Если утверждения и таковы, что и из , и из , то говорят, что является необходимым и достаточным условием . То же самое можно сказать и про утверждение : является необходимым и достаточным условием . Обозначают такое соотношение между двумя утверждениями как . Часто употребляют другие формулировки для :
  • для того чтобы выполнялось утверждение , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось утверждение ;
  • утверждение выполняется тогда и только тогда, когда выполняется утверждение ;
  • утверждение выполняется в том и только в том случае, когда выполняется утверждение .
Пример 3.Пусть утверждение есть «», а утверждение  — «». Легко увидеть, что , а именно, из того, что равен или в обоих случаях следует, что , и наоборот, решая уравнение , найдем два возможных корня и .
Операции над множествамиПод множеством в математике понимают любую совокупность элементов. Множество обычно обозначают каким-либо символом, или перечислением элементов в том или ином виде, например, . Здесь и т.д. элементы множества .Пример 4. — множество натуральных чисел.Пример 5.  — множество целых чисел.Пример 6.  — множество вещественных чисел.Запись означает, что элемент принадлежит множеству , а запись  — элемент не принадлежит множеству .Выражение означает, что множество является подмножеством , то есть все элементы множества принадлежат также множеству .Пустое множество (множество, не содержащее ни одного элемента) обозначают символом . Пустое множество содержится в качестве подмножества в любом множестве.Множество элементов, которые принадлежат множеству и не принадлежат множеству , называется разностью множеств и и обозначается .Множество элементов, принадлежащее или множеству , или множеству , называется объединением или дизъюнкцией множеств и обозначается .Множество элементов, принадлежащее одновременно и множеству , и множеству , называется пересечением или конъюнкцией множеств и обозначается .Симметрической разностью множеств  и называется множество , обозначаемое .Аналогично можно, определять операции для нескольких множеств последовательным применением указанных операций. Приведенные ниже рисунки наглядно демонстрируют операции над двумя множествами (рис. 1.1).Логические операцииПусть имеется два утверждения, каждое из которых может быть охарактеризовано как Истина (True) или Ложь (False). Истину обычно обозначают 1, а Ложь — 0. Определим следующие логические операции, называемые также Булевы операции:Указанные операции могут последовательно применяться и к большему числу элементов. Видеолекция «Элементы теории множеств»: