2.
Числовые последовательности. Способы задания и операции
Понятие числовой последовательностиОдним из основных понятий математики является натуральный ряд чисел: .Если каждому числу из натурального ряда чисел поставлено в соответствие вещественное число , то множество вещественных чисел называется числовой последовательностью или просто последовательностью.Числа называются элементами (или членами) последовательности. Символ  — общий элемент (член) последовательности, а  — его номер. Сокращенно последовательность обозначается символом , а когда из контекста ясно, что речь идет о последовательности, то и просто символом .Пример 1. означает последовательность .Пример 2.Дана формула общего элемента . Найти 5 первых элементов последовательности.Первые 5 элементов последовательности имеют вид: ; ; ; ; .Пример 3. Зная несколько первых элементов последовательности , написать формулу общего элемента.Видно, что каждый элемент последовательности представляет собой квадрат нечетного числа: . Последовательность нечетных чисел есть . Следовательно, формула общего элемента искомой последовательности может быть представлена в виде: .Заметим, что знание нескольких первых элементов последовательности еще не определяет саму последовательность. Поэтому задачу отыскания формулы общего элемента последовательности по ее первым элементам необходимо рассматривать как задачу отыскания простой закономерности.Кроме того, вид формулы для , определяемый по первым элементам последовательности, не является единственным. Например, последовательность можно представить в различном виде: ; ; .Способы задания последовательностиПоследовательность может быть задана как с помощью формулы общего элемента и т.д., так и с помощью рекуррентных соотношений, когда задаются первый элемент (несколько первых элементов) последовательности и формула, определяющая следующий элемент через предыдущий (несколько предыдущих).Пример 4 (арифметическая прогрессия). Арифметической прогрессией называется последовательность чисел, в которой следующее число есть предыдущее, увеличенное (уменьшенное) на постоянное число. В соответствии с определением, задается и рекуррентное соотношение , где  — разность арифметической прогрессии. Для арифметической прогрессии справедливы хорошо известные соотношения для формулы -го элемента и для суммы первых элементов .Пример 5 (геометрическая прогрессия). Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, в которой следующее число есть предыдущее, умноженное на постоянное число. В соответствии с определением задается и рекуррентное соотношение , где  — знаменатель геометрической прогрессии. Для геометрической прогрессии также легко найти формулу для -го элемента и сумму первых членов .Пример 6 (числа Фибоначчи). Задаются первые два элемента и рекуррентное соотношение . Явный вид последовательности следующий: Операции над числовыми последовательностямиПроизведением последовательности на число называется последовательность .Суммой последовательностей и называется последовательность , т.е. -му элементу первой последовательности прибавляется -й элемент второй последовательности и получившаяся сумма есть -й элемент новой последовательности). Или сокращенно .Разностью последовательностей и называется последовательность .Произведением последовательностей и называется последовательность .Частным последовательностей и называется последовательность , причем . Видеолекция «Числовые последовательности. Способы задания и операции»: