3.
Ограниченные и неограниченные, бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
Ограниченные и неограниченные последовательностиПоследовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует число () такое, что каждый элемент последовательности удовлетворяет неравенству (). При этом число () называется верхней (нижней) гранью последовательности .Последовательность называется ограниченной с обеих сторон или просто ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу, т.е. существуют числа и , такие, что любой элемент последовательности удовлетворяет соотношению Заметим, что верхняя и нижняя грани определятся не однозначно. Если какое-то число — верхняя грань последовательности, то и любое большее число тоже будет верхней гранью. И наоборот, если какое-то число — нижняя грань последовательности, то и любое меньшее тоже будет нижней гранью. Обозначим , тогда для ограниченной последовательности имеем или .Последовательность называется неограниченной, если для любого найдется элемент такой, что .Пример 1.Последовательность  — ограничена, так как для любого натурального .Пример 2.Последовательность  — ограничена снизу, так как . Но в то же время последовательность  — неограниченная последовательность, так как для любого положительного числа найдется элемент последовательности, больший, чем . Например, элемент с номером . Квадратные скобки здесь и далее означают целую часть числа.Бесконечно большие и бесконечно малые последовательностиПоследовательность называется бесконечно большой, если для любого существует такой номер , что при всех выполняется соотношение .Подчеркнем различие между бесконечно большой и неограниченной последовательностью. В случае бесконечно большой последовательности соотношение должно выполняться для всех . Для неограниченности последовательности достаточно, чтобы существовал хотя бы один элемент последовательности, для которого выполняется . Отсюда сразу следует, что любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Обратное утверждение неверно.Пример 3.Последовательность является неограниченной, но не является бесконечно большой.Последовательность называется бесконечно малой, если для любого существует такой номер , что при всех выполняется соотношение .Очевидно, что любая бесконечно малая последовательность является ограниченной, но не наоборот.Поясним графически данные определения бесконечно большой и бесконечно малой последовательностей. На рис. 3.1 приведен пример бесконечно большой последовательности, точнее первых ее элементов, предполагая, что закономерность возрастания при увеличении сохраняется. Горизонтальными линиями показаны значения и , причем линия ввиду произвольности может быть проведена на любом уровне (предполагается сколь угодно большом). Как видно из рис. 3.1, существует номер (например, 10), начиная с которого все элементы последовательности лежат за пределами -окрестности нуля. Причем если бы мы расширили эту -окрестность нуля, то элемент последовательности с номером 10, возможно, уже попал бы внутрь -окрестности нуля, но тогда мы могли бы в качестве выбрать номер элемента последовательности больший чем 10.Аналогично, на рис. 3.2 приведен пример бесконечно малой последовательности. Горизонтальными линиями показаны значения и , причем линия ввиду произвольности может быть проведена на любом уровне (предполагается сколь угодно близком к нулю). Как видно из рис. 3.2, существует номер (например, 9) начиная с которого все элементы последовательности лежат внутри -окрестности нуля. Причем если бы мы сузили эту -окрестность нуля, то элемент последовательности с номером 9, возможно, уже вышел бы за пределы -окрестности нуля, но тогда мы могли бы в качестве выбрать номер элемента последовательности больший чем 9.Пример 4.Последовательность  — бесконечно большая. Для доказательства зададим произвольное . Далее найдем номер элемента последовательности такой, что для всех выполняется соотношение . В этом случае, как и требует определение, начиная с некоторого номера . Исходя из неравенства , выберем . В самом деле, нужно взять целое . Взятие целой части уменьшает число, но не более чем на единицу, поэтому мы и компенсировали это уменьшение добавлением единицы, в итоге .Следует заметить, что определяется неоднозначно. Если в качестве годится какое то целое число, то и любое большее целое тоже годится (см. рисунки).Пример 5.Последовательность  — бесконечно большая. Для доказательства зададим произвольное . Далее, найдем номер элемента последовательности такой, что для всех выполняется соотношение . Записав последнее неравенство в виде , выберем .Пример 6.Последовательность  — бесконечно малая. Для доказательства зададим произвольное . Далее, найдем номер элемента последовательности такой, что для всех выполняется соотношение . Записав последнее неравенство в виде , выберем . Видеолекция «Ограниченные и неограниченные, бесконечно большие и бесконечно малые последовательности»: