4.
Основные теоремы о бесконечно больших и бесконечно малых последовательностях
Теорема. Если  — бесконечно большая последовательность и все ее элементы отличны от нуля (), то последовательность  — бесконечно малая, и наоборот, если — бесконечно малая последовательность и все ее элементы отличны от нуля (), то последовательность = — бесконечно большая.Доказательство. Докажем первое утверждение теоремы. Пусть  — бесконечно большая последовательность, т.е. для любого найдется номер элемента последовательности такой, что для всех выполняется соотношение . Требуется доказать, что последовательность  — бесконечно малая.Зададим произвольное . Покажем, что существует такое, что для всех выполняется соотношение . Возьмем . По определению бесконечно большой последовательности, начиная с все элементы последовательности удовлетворяют соотношению . Следовательно, начиная с выполняется или . Аналогично доказывается второе утверждение теоремы.Теорема. Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малые последовательности.Доказательство. Пусть и  — две бесконечно малые последовательности. Покажем, что последовательности также бесконечно малые. Зададим произвольное . По определению бесконечно малых последовательностей существуют и такие, что для всех : и для всех : . Возьмем , тогда для всех : . Что и требовалось доказать.Следствие. Сумма или разность любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.Теорема. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.Доказательство. Пусть и  — две бесконечно малые последовательности. Покажем, что также бесконечно малая. Зададим произвольное . Так как  — бесконечно малая, то существует такое, что для всех : . Так как  — бесконечно малая, то существует такое, что для всех : . Возьмем , тогда для всех : . Что и требовалось доказать.Следствие. Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.Замечание. Теорема о сумме и разности не имеет аналога для бесконечно больших последовательностей. Действительно, сумма двух бесконечно больших последовательностей в общем случае может быть какой угодно. Например,  — ограниченная последовательность;  — бесконечно большая последовательность;  — бесконечно малая последовательность.Замечание. Теорема о произведении обобщается на случай бесконечно больших последовательностей.Замечание. Частное двух бесконечно малых (больших) последовательностей может быть последовательностью, сходящейся к любому числу, а может и не сходиться вовсе. Например, если , , то  — бесконечно большая последовательность;  — бесконечно малая последовательность.Теорема. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.Доказательство. Пусть  — ограниченная последовательность, а  — бесконечно малая. Покажем, что  — бесконечно малая. Зададим произвольное . Так как  — ограниченная последовательность, то существует такое, что . Так как  — бесконечно малая, то существует такое, что для всех : . Тогда для всех : . Что и требовалось доказать.Следствие. Произведение бесконечно малой последовательности на число есть бесконечно малая последовательность. Видеолекция «Основные теоремы о бесконечно больших и бесконечно малых последовательностях»: