5.
Сходящиеся последовательности. Ограниченность сходящейся последовательности
Существует три определения сходящейся последовательности:
  1. Последовательность называется сходящейся, если существует число такое, что последовательность является бесконечно малой. При этом число называется пределом последовательности.
  2. Последовательность называется сходящейся, если существует такое число , что для любого можно указать такой номер , что при всех выполняется соотношение . При этом число называется пределом последовательности.
  3. Последовательность называется сходящейся, если существует такое число , что в любой -окрестности точки находятся все элементы последовательности, начиная с некоторого номера.
Обозначают предел последовательности: (читается «предел икс энтое при эн, стремящемся к бесконечности»), или при .Из определения следует, что всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся, а ее предел равен нулю. Не представляет труда графически изобразить сходящуюся последовательность аналогично тому как мы это делали для бесконечно малой последовательности, с той лишь разницей, что нужно говорить уже не об -окрестности нуля, а об -окрестности точки .Пример 1.. Покажем, что последовательность сходится, а ее предел равен 1. Достаточно доказать, что  — бесконечно малая последовательность. Зададим произвольное . Далее, найдем номер элемента последовательности такой, что для всех выполняется соотношение . Записав последнее неравенство в виде , выберем .Теорема. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.Доказательство. Предположим обратное, т. е. предел последовательности не единственен. Пусть , , причем . По определению , , где и  — бесконечно малые последовательности. Вычитая одно из другого, получим, что последовательность  — бесконечно малая как разность двух бесконечно малых последовательностей. Следовательно, , поскольку в противоположном случае не может быть бесконечно малой (достаточно взять и будет для всех ). Теорема доказана.Теорема. Сходящаяся последовательность ограничена.Доказательство. Пусть сходится к , т.е. для любого , в частности и для , начиная с некоторого для всех выполняется соотношение , или, по-другому, , а значит . Тогда очевидно, что , т.е. последовательность  — ограничена. Теорема доказана. Видеолекция «Сходящиеся последовательности. Ограниченность сходящейся последовательности»: