6.
Сумма, разность, произведение и частное сходящихся последовательностей. Монотонные последовательности
Сумма, разность, произведение и частное сходящихся последовательностейТеорема. Если и  — сходящиеся последовательности с пределами и , то последовательности сходятся к соответственно.Доказательство. Запишем наши последовательности в виде и , где и  — бесконечно малые последовательности. Тогда, . Последовательность  — бесконечно малая, как сумма (разность) бесконечно малых последовательностей, а значит сходится к . Теорема доказана.Теорема. Если и сходятся к и , то сходится к .Доказательство. Аналогично предыдущей теореме запишем наши последовательности в виде и , где и  — бесконечно малые последовательности. Тогда, . Последовательность  — бесконечно малая последовательность, а значит сходится к . Теорема доказана.Теорема. Если и сходятся к и , причем и , то сходится к .Доказательство. Запишем наши последовательности в виде и , где и  — бесконечно малые последовательности. Тогда, . Последовательность  — бесконечно малая, так как  — ограниченная, а  — бесконечно малая. Следовательно, сходится к . Теорема доказана.Теорема. Если все элементы последовательности , сходящейся к , начиная с некоторого, удовлетворяют неравенству (), то и предел удовлетворяет этому неравенству, ().Доказательство. Докажем первое утверждение теоремы. Предположим обратное, а именно, , . Возьмем . Так как последовательность сходится к , то найдется такое, что для всех выполняется соотношение . Отсюда следует и из второго неравенства , что противоречит предположению. Теорема доказана.Следствие. Если элементы сходящихся последовательностей и удовлетворяют неравенству , то и их пределы удовлетворяют тому же неравенству .Доказательство. Так как  — неотрицательная последовательность, то , а значит .Монотонные последовательностиПоследовательность называется неубывающей (невозрастающей), если каждый последующий элемент не меньше (не больше) предыдущего, т.е. ().Теорема. Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена сверху (снизу), то она сходится.Доказательство. Доказательство опирается на теорему о существовании точной верхней (нижней) грани ограниченного сверху (снизу) множества вещественных чисел. Рассмотрим первое утверждение теоремы. Поскольку  — точная верхняя грань, то для любого существует такое, что . Из последнего неравенства и неравенства следует, что . Поскольку  — неубывающая последовательность, то для всех выполняются неравенства или .Пример 1.Вычислить предел последовательности (символ встречается раз).Запишем эту последовательность в рекуррентном виде , . Отсюда видно, что последовательность неубывающая, причем . Покажем, что ограничено сверху числом . Если , то требуемое доказано. Если , то , а значит . Получили, что последовательность не убывает и ограничена сверху и согласно только что доказанной теореме имеет предел. Обозначим его через . Из рекуррентной формулы получим , и перейдя к пределу в левой и правой частях получим: . Решив квадратное уравнение, найдем (второй корень отброшен, так как он отрицательный). Видеолекция «Сумма, разность, произведение и частное сходящихся последовательностей. Монотонные последовательности»: