7.
Задачи на вычисление пределов последовательностей
Пример 1.Доказать, что .Применение напрямую теоремы о пределе суммы, разности, произведении и частного двух последовательностей невозможно ввиду того, что мы имеем разность двух бесконечно больших последовательностей. Причем при больших значениях оба слагаемых растут с одинаковой скоростью как и, в принципе, могли бы сократиться. Однако наличие корней не позволяет провести сокращение. Домножим и поделим на сопряженное выражение (со знаком «+» между корнями) и преобразуя, получим:.Так как , переходя к пределу, получим, что , а это возможно только в случае .Как видим, домножение и деление на сопряженное выражение, вместе с применением формулы для разности квадратов, позволяет избавиться от корней в числителе и произвести сокращение . В итоге в числителе остается конечное выражение, а в знаменателе неопределенность не возникает, так как сумма двух бесконечно больших последовательностей одного знака будет бесконечно большой последовательностью.Пример 2.Вычислить .Поделим на и числитель, и знаменатель:.Пример 3.Вычислить .Поделим на и числитель, и знаменатель:.Пример 4.Вычислить .Поделим на и числитель, и знаменатель:.В числителе последней дроби в пределе получаем число 2, а в знаменателе — бесконечно малую последовательность. По рассмотренной нами ранее теореме исходная последовательность — бесконечно большая, что условно обозначено нами как .Пример 5.Вычислить .Поделим на и числитель, и знаменатель:.Пример 6.Вычислить .Поделим на и числитель, и знаменатель:.В последних примерах применение теоремы о пределе суммы, разности, произведении и частного двух последовательностей напрямую невозможно ввиду того, что и в числителе, и в знаменателе оказываются бесконечно большие последовательности. Именно поэтому перед вычислением предела проводились арифметические операции, приводящие исходную последовательность к отношению двух последовательностей с конечным значением предела, когда применение указанной выше теоремы становится возможным. В качестве величины, на которую делили и числитель, и знаменатель исходной последовательности выбирали такую из последовательностей, которая обеспечивала наибольший рост в исходной последовательности. После деления и числителя, и знаменателя бесконечно больших последовательностей уже не оставалось и дальнейшие вычисления сводились к соответствующим арифметическим операциям над пределами.Пример 7.Вычислить .Числитель представляет собой сумму первых членов арифметической прогрессии и по соответствующей формуле, рассмотренной ранее, равен . В итоге имеем .Пример 8.Вычислить .Выражение представляет собой сумму первых членов геометрической прогрессии и по соответствующей формуле, рассмотренной ранее, равно . В итоге имеем . Видеолекция «Задачи на вычисление пределов последовательностей»: