9.
Предел функции
Пусть и пусть интервал принадлежит области определения функции , за исключением, может быть, самой точки . Возьмем последовательность чисел , такую, что и . Значения также образуют числовую последовательность.Число называется пределом функции  в точке (при ), если для любой сходящейся к последовательности такой, что и соответствующая последовательность значений функции сходится к числу (по Гейне).Замечание. Функция может иметь только один предел в точке . Это следует из того, что последовательность может иметь только один предел.Пример 1.Функция имеет предел в каждой точке числовой прямой, равный . В самом деле, возьмем произвольную последовательность при , соответствующая последовательность значений функции при .Пример 2.Функция имеет предел в каждой точке числовой прямой, равный . Действительно, возьмем последовательность при . Соответствующая последовательность значений функции , а следовательно, пределы этих последовательностей совпадают.Пример 3.Функция в точке не имеет предела. Возьмем последовательность , соответствующая последовательность значений функции стремится к нулю. Теперь возьмем другую последовательность значений аргумента . В этом случае соответствующая последовательность значений функции стремится к единице. Это означает, что предела функции в нуле нет.Пример 4.Посчитать предел функции в точке х=0.Возьмем произвольную последовательность при и составим соответствующую последовательность значений функции . Легко увидеть, что.Число называется пределом функции в точке (при ), если для любого существует такое, что для любого , удовлетворяющего , выполнено неравенство (по Коши).Теорема. Определения по Гейне и по Коши эквивалентны.Доказательство.Правый и левый пределы функцииЧисло называется правым (левым) пределом функции в точке , если для любой сходящейся к последовательности , элементы которой больше (меньше) , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу (по Гейне).Число называется правым (левым) пределом функции в точке , если для любого существует такое, что для любого , удовлетворяющего (), выполнено неравенство (по Коши).Замечание. Можно доказать, что теорема об эквивалентности определений по Коши и по Гейне справедлива и для односторонних пределов.Обозначают правый и левый пределы соответственно и .Пример 5..Очевидно, что левый предел , правый предел (см. рис. 9.1).Необходимое и достаточное условие существования предела функцииТеорема. Функция имеет в точке предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют правый и левый пределы, и они совпадают. В этом случае предел функции равен односторонним пределам.Доказательство. Пусть имеются пределы справа и слева, и они равны. То есть для любого существуют () такие, что для любых , удовлетворяющих (), выполнено неравенство . Требуется доказать, что для любого существует такое, что для любого , удовлетворяющего , выполнено неравенство . Возьмем . Тогда если для , удовлетворяющего неравенствам и выполняется , то это неравенство будет выполняться и при .Второе утверждение теоремы очевидно, если взять . Теорема доказана.Пример 6 (см. рис. 9.2).Есть левый и правый предел, но они не равны , , а предела функции нет.Пример 7. (см. рис. 9.3).Есть левый и правый пределы, и они равны , , следовательно, есть предел .Предел функции при Число называется пределом функции при , если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы которой, начиная с некоторого, положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции сходится к (по Гейне).Число называется пределом функции при , если для любого существует такое, что для любого () выполнено неравенство (по Коши).Замечание. Можно доказать, что теорема об эквивалентности определений по Коши и по Гейне справедлива и для пределов на бесконечности.Пример 8.Покажем, что . Возьмем произвольную бесконечно большую последовательность . Последовательность  — бесконечно малая, следовательно, .Пример 9.Покажем, что . Зададим произвольное . Далее, найдем такое, что для всех выполняется соотношение . Решив последнее неравенство, найдем, что , например, можно взять . Видеолекция «Предел функции»: