10.
Предел суммы, разности, произведения и частного функции
Теорема. Пусть и имеют в точке пределы и . Тогда , и имеют в точке пределы, равные соответственно , и (в последнем случае при ).Доказательство. Доказательство вытекает из соответствующих теорем о пределах последовательностей. Пусть имеется произвольная последовательность , сходящаяся к . По определению предела функции по Гейне соответствующие ей последовательности и имеют в точке пределы и . Следовательно, по теореме о пределах суммы, разности, произведения и частного последовательностей, последовательности , и имеют в точке пределы, равные соответственно , и . Согласно определению по Гейне предела функции это означает, что , и .Следствие. Постоянный множитель выносится за знак предела, то есть .Пример 1.Найти Решение.По теореме о пределе суммы и произведения получимПример 2.Найти Решение.По теореме о пределе частного, суммы и произведения получим Предел числителя найден в предыдущем примере и равен 10. Предел знаменателя вычисляется аналогично:В итоге получаем  Видеолекция «Предел суммы, разности, произведения и частного функции»: