11.
Первый и второй замечательные пределы
Теорема о пределах суммы, разности, произведения и частного функций не всегда позволяет вычислить предел подобного вида. Например, если нам нужно вычислить предел , то мы не можем воспользоваться этой теоремой, поскольку предел знаменателя равен нулю, а вычисление предела числителя для нас пока представляет собой отдельную задачу. Тем не менее, ответ на вопрос о вычислении данного предела дает теорема о первом замечательном пределе. Формулируется эта теорема следующим образом..Докажем данное утверждение. Возьмем окружность единичного радиуса. Из центра этой окружности проведем угол, радианной меры (см. рис. 11.1). Очевидно, что OA=1, sinx=MK, tgx=AT.Площадь треугольника OAM меньше площади сектора OAM, а она, в свою очередь, меньше, чем площадь треугольника OAT. Отсюда следует или .Следовательно .Отсюда получим неравенство или . Поскольку для , то . Поэтому получаем . Отсюда следует, что при .Если взять произвольное число и положить , то для любого x, удовлетворяющего неравенству , будет выполнено неравенство . Поэтому будет выполнено неравенство , или , что означает, что 1 является правым пределом функции по Коши в точке x = 0. Поскольку функция четная, 1 является и левымпределом этой функции в точке x = 0. Из теоремы о необходимом и достаточном условии существования предела функции следует, что . Теорема доказана.Замечание. Из этого следует, что и . Действительно,Второй замечательный предел (без доказательства).Пример 1.Вычислить предел Пример 2.Вычислить предел  Видеолекция «Первый и второй замечательные пределы»: