12.
Бесконечно большие и бесконечно малые функции
Функция называется бесконечно малой в точке , если .Аналогично определяются бесконечно малые функции при , , , , .Теорема. Для выполнения равенства необходимо и достаточно, чтобы функция была бесконечно малой.Доказательство следует из теоремы о пределе суммы (разности) двух функций. Действительно, пусть , тогда . Пусть теперь , тогда . Теорема доказана.Функция называется ограниченной на отрезке , если существует такое число , что для всех выполняется неравенство .Функция называется бесконечно большой в точке , если для любого существует такое, что при всех , удовлетворяющих , выполняется неравенство .В этом случае пишут, что , т.е. функция стремится к бесконечности при .Если выполняется неравенство  , то пишут  .Аналогично тому, как определялись конечные односторонние пределы, можно определить бесконечные односторонние пределы:, , , .Например, , если для любого положительного числа найдется такое положительное число , что для любых значений x, удовлетворяющих неравенствам , будет выполнено неравенство .Аналогично определяются бесконечно большие функции при , , . Например, функция называется бесконечно большой при , если для любого положительного числа найдется такое положительное число , что для любых значений x, удовлетворяющих неравенствам , будет выполнено неравенство . При этом вводится обозначение .Замечание. Между бесконечно большой и бесконечно малой функциями такая же связь, что и у последовательностей.Пример 1. в точке — бесконечно большая функция.Пример 2.Показать, что функция в точке является бесконечно большой.Решение.Надо доказать, что функция удовлетворяет определению бесконечно большой в точке . Т.е. для любого найдется такое положительное число , что для любых значений x, удовлетворяющих неравенству следует, что , т.е. . Решим это неравенство для произвольного положительного . Получим , следовательно если взять , мы удовлетворим всем неравенствам. Видеолекция «Бесконечно большие и бесконечно малые функции»: