13.
Действия над бесконечно малыми функциями
Функция называется ограниченной на множестве , если существует такое число , что для всех выполняется неравенство .Пример 1.Функция ограничена на всей числовой оси, поскольку для любых значений справедливо неравенство .Пример 2.Функция ограничена на отрезке , поскольку для любых значений справедливо неравенство .Пример 3.Функция ограничена на всей области своего определения , поскольку для любых значений справедливо неравенство .Пример 4.Функция не является ограниченной на интервале , поскольку для любого сколь угодно большого положительного числа найдется такое значение , для которого будет выполнено неравенство . Действительно, поскольку , раскрываем модуль и получим , или . В качестве такого можно взять, например, . Теорема. Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при , а также произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию являются бесконечно малыми функциями при .Доказательство следует из теоремы о пределе суммы, разности и произведения функций и соответствующих теорем о последовательностях.Замечание. Данная теорема не распространяется на бесконечно большие функции. Сумма двух бесконечно больших функций может быть какой угодно (бесконечно большой, бесконечно малой, не той и не другой).Пример 5.. Обе функции являются бесконечно большими в точке . Сумма этих двух функций также функция бесконечно большая в точке .Пример 6.. Обе функции являются бесконечно большими в точке . Сумма этих двух функций является функцией бесконечно малой в точке .Пример 7.. Обе функции являются бесконечно большими в точке . Сумма этих двух функций не является ни бесконечно большой, ни бесконечно малой функцией в точке .Произведение бесконечно больших функций является бесконечно большой функцией.Произведение бесконечно большой функции на функцию бесконечно малую может дать какую угодно функцию (бесконечно большую, бесконечно малую, не ту и не другую).Пример 8. — бесконечно большая функция в точке , бесконечно малая функция в точке . Их произведение является бесконечно большой функцией в этой точке.Пример 9. — бесконечно большая функция в точке , , бесконечно малая функция в точке . Их произведение является бесконечно малой функцией в этой точке.Пример 10. — бесконечно большая функция в точке , бесконечно малая функция в точке . Их произведение не является ни бесконечно большой, ни бесконечно малой функцией в точке . Видеолекция «Действия над бесконечно малыми функциями»: