15.
Непрерывная функция. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных функций
Непрерывность функцииФункция называется непрерывной в точке , если (1-й вариант определения).Определение непрерывной функции можно дать и на языке окрестностей.Функция называется непрерывной в точке , если для любого существует такое, что для всех , удовлетворяющих , выполняется соотношение (2-й вариант).Введем обозначения, которые нам понадобятся и в дальнейшем: — приращение аргумента,  — приращение функции.Функция называется непрерывной в точке , если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при (3-й вариант).Пример 1., .Значение функции , ее предел , таким образом, функция непрерывна при .Пример 2.Используя определение, покажем, что функция непрерывна во всей области своего определения.Возьмем произвольную точку . Вычислим предел функции в этой точке:====Вычислим теперь значение функции в точке .Таким образом, , следовательно, функция непрерывна в точке .Пример 3.Используя определение, покажем, что функция непрерывна во всей области своего определения.Возьмем произвольную точку . Вычислим предел функции в этой точке:===.Вычислим теперь значение функции в точке : . Таким образом, , следовательно, функция непрерывна в точке .Теорема о сумме, разности, произведении и частном непрерывных функцийТеорема. Пусть и непрерывны в точке . Тогда функции , и (в последнем случае ) также непрерывны в этой точке.Доказательство следует из теоремы о пределах суммы, разности, произведения и частного двух функций.Пример 4.В соответствии с теоремой и рассмотренными выше примерами функции , , и являются непрерывными. Видеолекция «Непрерывная функция. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных функций»: