17.
Задачи на вычисление пределов функций
Теорема о пределе суммы, разности, произведении и частного двух функций позволяет в ряде случаев легко определять предел различных функций. Так, например, если нужно вычислить,то воспользовавшись этой теоремой получаем, что искомый предел равен.Однако этой теоремой не всегда удается воспользоваться. Например, если мы имеем дело с частным двух функций , каждая из которых стремится к нулю при .. В этом случае говорят о неопределенности типа . Еще один пример, когда мы имеем дело с частным двух функций , каждая из которых стремится к бесконечности при .. В этом случае говорят о неопределенности типа . Ну и наконец третий случай, когда мы имеем дело с разностью двух функций , каждая из которых стремится к бесконечности при ..В этом случае говорят о неопределенности типа . Во всех трех случаях воспользоваться теоремой о пределе суммы, разности, произведения и частного двух функций не удается. Вместо этого нужно использовать различные приемы раскрытия неопределенности. Рассмотрим эти приемы на примерах.Пример 1.Вычислить .Очевидно, что это неопределенность типа . Для раскрытия этой неопределенности домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение . Получим:.Пример 2.Вычислить .Очевидно, что это неопределенность типа . Преобразуем выражение к виду:.Пример 3.Вычислить .Это неопределенность типа , поскольку и числитель, и знаменатель являются на бесконечно большими функциями. Для раскрытия неопределенности поделим и числитель, и знаменатель на максимальную бесконечность . Получим:==2.Пример 4.Вычислить .Это неопределенность типа . Для раскрытия неопределенности умножим и разделим исходное выражение на сопряженное ему .Получим ==.Избавившись от неопределенности мы получили другую неопределенность . С такой неопределенностью мы уже разбирались в предыдущем примере. Разделим и числитель, и знаменатель на максимальную бесконечность . Получим . Внося в знаменателе под корни, получим:=. Видеолекция «Задачи на вычисление пределов функций»: