18.
Теоремы о непрерывных функциях
Теорема. Пусть непрерывна в точке и . Тогда существует такое, что для всех , функция имеет тот же знак, что и .Доказательство. Рассмотрим случай . Так как функция непрерывна в точке , то для любого существует такое, что для всех , выполняется соотношение . Возьмем , тогда последнее неравенство можно преобразовать к виду . Из левого неравенства следует, что . Аналогично рассматривается случай . Теорема доказана.Теорема (первая теорема Больцано — Коши). Пусть функция непрерывна на отрезке и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков. Тогда существует точка такая, что .Без доказательства.Замечание. Геометрическая интерпретация этой теоремы следующая. Если значения непрерывной функции в граничных точках и лежат по разные стороны от оси абсцисс, то ее график пересекает ось абсцисс в некоторой точке (см. рис. 18.1).Теорема (вторая теорема Больцано — Коши). Пусть функция непрерывна на отрезке , причем , . Пусть далее  — любое число, заключенное между и . Тогда на отрезке найдется точка такая, что .Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию . Эта функция принимает значения разных знаков на концах отрезка , следовательно, по первой теореме Больцано — Коши, существует такая, что , а значит . Теорема доказана.Теорема (первая теорема Вейерштрасса). Если функция определена и непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.Без доказательства. Видеолекция «Теоремы о непрерывных функциях»: