20.
Производная функции
Пусть имеется функция . Возьмем точку и зададим приращение , т.е. . Функция также получит приращение .Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при приращении аргумента, стремящемся к нулю, т.е. (при условии, что он существует).В дальнейшем изложении, если производная вычисляется в произвольной точке, индекс нуль в аргументе будем опускать. При этом получается новая функция, являющаяся производной от функции . Обозначают производную штрихом (читается «эф штрих от икс») или набором символов (читается «дэ эф от икс по дэ икс»).По определению приращений и в точке их отношение представляет собой тангенс угла наклона секущей к оси абсцисс, пересекающей график функции в точках и . При секущая будет переходить в касательную в точке . Следовательно, есть тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс, проведенной к графику функции в точке (см. рис. 20.1).Рассмотрим теперь физический смысл производной. Пусть имеется производная , где  — координата материальной точки, а  — время. Отношение есть средняя скорость за промежуток времени . Производная представляет собой мгновенную скорость материальной точки в момент времени .Аналогично, есть скорость изменения скорости, или ускорение.Мы кратко рассмотрели геометрический и физический смысл производной, традиционно рассматриваемые в курсах математического анализа. Разумеется, этим не исчерпываются все практические приложения производной. Экономический смысл производной будет рассмотрен нами в отдельном кванте.Пример 1.. .Пример 2.. .Пример 3...Правой (левой) производной функции в точке называется правое (левое) предельное значение при (при условии, что оно существует).Обозначают правую (левую) производные  .Теорема. Функция имеет в точке производную тогда и только тогда, когда существуют правая и левая производные и они совпадают.Доказательство. Следует из соответствующей теоремы о пределах функции.Пример 4.Функция не имеет производной в точке . В самом деле, правая производная , левая производная . По только что рассмотренной теореме производной функции в точке не существует. Видеолекция «Производная функции»: