21.
Дифференцируемость функции
Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке представимо в виде , где  — некоторое число, не зависящее от , а  — функция аргумента , являющаяся бесконечно малой при , то есть .Теорема. Для того чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.Доказательство. Рассмотрим вначале необходимое условие дифференцируемости, то есть докажем, что из дифференцируемости функции в некоторой точке следует существование производной в этой точке. Пусть функция дифференцируема в точке , то есть ее приращение в этой точке представимо в виде . Тогда, поделив на правую и левую части выражения и перейдя к пределу при , вычислим производную . Необходимое условие теоремы доказано.Рассмотрим теперь достаточное условие дифференцируемости, то есть докажем, что из существования производной функции в некоторой точке следует ее дифференцируемость в этой точке. Пусть существует производная , то есть существует предел . Обозначим производную . Функция  — бесконечно малая (в соответствии с теоремой, где для того, чтобы предел , необходимо и достаточно, чтобы разность являлась бесконечно малой; эта теорема была рассмотрена нами ранее). Следовательно, приращение функции может быть записано в следующем виде: , что и означает дифференцируемость функции . Теорема полностью доказана.Таким образом, дифференцируемость функции и существование производной — понятия равносильные. Поэтому операцию нахождения производной называют дифференцированием.Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она и непрерывна в этой точке.Доказательство. Найдем предел приращения функции , когда приращение аргумента стремится к нулю :. Таким образом, по третьему определению непрерывности функция непрерывна. Теорема доказана.Замечание. Обратное утверждение неверно. Например, непрерывна в точке , но не имеет производной в ней. Непрерывность и отсутствие производной для заданной функции в точке рассматривалось нами ранее (см. кванты 15 и 20). Видеолекция «Дифференцируемость функции»: