22.
Дифференциал функции
Запишем приращение дифференцируемой функции . Пусть , тогда  — бесконечно малое одного порядка с , а  — бесконечно малое более высокого порядка, чем .Дифференциалом функции в точке называется главная, линейная относительно часть приращения функции или .Назовем дифференциалом независимой переменной величину . Получим или , то есть производная функции может быть представлена как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной, что и оправдывает введенное нами ранее обозначение для производной в виде . Геометрический смысл дифференциала см. на рис. 22.1 — это длина вертикальной стороны прямоугольного треугольника построенного на касательной к графику функции в точке в качестве гипотенузы, причем горизонтальная сторона имеет длину и проведена между точкой касания графика функции и касательной (точка с координатами (, )) и точкой с координатами (, ).Следует отметить, что дифференциал функции в точке , соответствующий приращению аргумента , не равен приращению функции в этой точке, а отличается на величину . При малых эта величина является бесконечно малой, но при конечных значениях отличие приращения функции от дифференциала становится существенным. Наиболее наглядно это видно из представленного рисунка.Тем не менее, использование приближенного равенства при малых используется для приближенной оценки значения функции. Преимущество замены на состоит в том, что дифференциал линейно зависит от , в то же время зависимость приращения функции от более сложная.Из соотношения легко получить . В частности, для и имеем соотношение , справедливое при малых значениях . Левая часть отличается от правой на величину  — бесконечно малую более высокого порядка малости, чем остальные члены выражения при . При отличие точного выражения от приближенного составляет 0.01, при отличие уже будет 0.0001. Если брать не малым по сравнению с единицей, например , то точное выражение отличается от приближенного на единицу, что составляет уже 25% от точного значения. Можно получить и другие аналогичные выражения после того, как мы вычислим производные различных функций. Видеолекция «Дифференциал функции»: