23.
Сумма, разность, произведение и частное дифференцируемых функций
Теорема. Если функции и дифференцируемы в точке , то сумма, разность, произведение и частное (в последнем случае ) этих функций также дифференцируемы в этой точке и имеют место следующие соотношения:,,.Доказательство следует, если применить определение производной как соответствующий предел и провести перегруппировку слагаемых с выделением производных функций и как соответствующих пределов. Проведем следующие выкладки:,,.Теорема доказана.Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, то есть . Это следует из производной для константы и правила вычисления производной произведения.Замечание. Из дифференцируемости суммы, разности, произведения или частного двух функций и в некоторой точке не следует дифференцируемость самих функций и в этой точке. Например, если , то произведение является функцией, дифференцируемой в любой точке, в то же время сами функции не дифференцируемы в нуле.В случае, когда имеется три и более функций, к которым применяются арифметические операции сложения, вычитания, умножения и деления, рассмотренные выше правила применяются последовательно к каждой из арифметических операций с учетом последовательности их выполнения. В частности, если имеется сумма или разность некоторого числа функций, то производная от суммы или разности этих функций будет равна соответствующей сумме или разности производных, то есть .Рассмотрим теперь вопрос о вычислении производной произведения трех функций . Сгруппируем произведение первых двух функций, его результатом будет некоторая новая функция, которая умножается на третью функцию, то есть будем иметь производную от произведения двух функций . Для вычисления производной произведения двух функций применим доказанную нами теорему, в результате чего получим соотношение:.В правой части осталась производная произведения двух функций . Повторно применяя правило вычисления производной произведения, можем записать:.Аналогично можно получить правило вычисления производной произведения любого числа функций. Видеолекция «Сумма, разность, произведение и частное дифференцируемых функций»: