24.
Производные степенной, тригонометрических и логарифмической функций
Производная степенной функции.Рассмотрим случай, когда показатель степени — натуральное число . Воспользовавшись определением производной, запишем:.Далее будем возводить в степень сумму , начиная с низких степеней . При перемножении раз получим . Затем ищем выражение, которое будет пропорционально первой степени . Для этого в одном из сомножителей умножаться будет , а в остальных сомножителях умножаться будет , получим выражение . Причем выбрать сомножитель, в котором берется , можно различными способами, и, соответственно, все эти слагаемые ( штук) будут суммироваться. В итоге слагаемое с первой степенью будет иметь вид . Слагаемые с более высокими степенями (начиная со второй), как видно из дальнейшего изложения, вклада в производную не дадут, поэтому и вычислять их не нужно. Обозначим все такие слагаемые символом , что означает бесконечно малую более высокого порядка малости, чем при , стремящемся к нулю. В итоге имеем:.Вычисление производной для произвольных значений степени будет рассмотрено в дальнейшем.Частные случаи полученной формулы: , , .Производные тригонометрических функцийПроизводные тригонометрических функций: , , , .Вычислим производную синуса по определению:.В выкладках использовалась формула для разности синусов, первый замечательный предел и непрерывность функции косинуса.Производная от вычисляется аналогично:.Здесь использовались формула для разности косинусов, первый замечательный предел и непрерывность функции синуса.Теперь производная от . При вычислении производной удобней исходить не из ее определения как предела отношения приращения функции к приращению аргумента, а воспользовавшись хорошо известным тригонометрическим соотношением:.Применяя формулу для вычисления производной отношения двух функций и уже вычисленные производные от синуса и косинуса, получаем:.Производная от может быть вычислена как с использованием соотношения:,так и аналогично предыдущему примеру с использованием формулы:.Воспользовавшись последним равенством, запишем:.Производная логарифмической функцииПроизводная логарифмической функции: , .Действительно, воспользовавшись определением производной:.Здесь использована непрерывность логарифма, второй замечательный предел и операции с логарифмами.Частный случай: производная от натурального логарифма (логарифма по основанию ) . Видеолекция «Производные степенной, тригонометрических и логарифмической функций»: