25.
Производная обратной функции
Пусть задана функция , что означает, что каждому числу из некоторого множества поставлено в соответствие число . Получаемые таким образом значения также образуют некоторое множество. Можно поставить задачу в обратную сторону — по заданным значениям найти соответствующие им значения . И если каждому значению ставится в соответствие только одно значение , то говорят, что определена обратная функция, обозначаемая как . Подчеркнем, что , находящаяся в степени, — это всего лишь обозначение для обратной функции, которое вовсе не сводится к дроби . Разумеется, можно использовать и любые другие символы для обозначения обратной функции, например . Очевидно, что функция, обратная к обратной, дает исходную функцию, поэтому и называют взаимно обратными функциями.Если функция только возрастает или только убывает на некотором множестве значений , то на соответствующем множестве значений каждому значению будет соответствовать только одно значение , то есть будет определена обратная функция .Пример 1.Задана функция . Область определения и область значений функции — вся числовая прямая. Обратная к ней функция будет .Пример 2.Задана функция . Область определения — вся числовая прямая, а область значений — только неотрицательные значения . Очевидно, что одному и тому же положительному значению будут соответствовать два различных (отличающихся знаком) значения . Таким образом, мы можем определить две обратных функции, каждая из которых будет соответствовать той или иной ветви параболы , то есть обратными будут функции .Пример 3.Задана функция . Область определения — вся числовая прямая, а область значений . Каждому значению из указанного отрезка соответствует бесконечно много значений . Выбирая значения , определим функцию .Пример 4.Задана функция . Область определения вся числовая прямая, а область значений . Каждому значению из указанного отрезка соответствует бесконечно много значений . Выбирая значения , определим функцию .Пример 5.Задана функция . Область определения — вся числовая прямая, кроме точек, когда косинус обращается в нуль, то есть , область значений . Каждому значению соответствует бесконечно много значений . Выбирая значения , определим функцию .Пример 6.Задана функция . Область определения — вся числовая прямая, кроме точек, когда синус обращается в нуль, то есть , область значений . Каждому значению соответствует бесконечно много значений . Выбирая значения , определим функцию .Теорема. Если функция имеет в точке производную , то обратная функция также имеет в соответствующей точке производную, причем .Доказательство. Зададим в точке приращение . Функция получит приращение . Составим отношение и перейдем к пределу (а значит и в силу непрерывности функции в точке ). Получим или . Теорема доказана.Пример 7.Задана функция . Используя теорему о производной обратной функции, вычислить . Известно, что . Используя только что доказанную теорему и подставляя обратную функцию , получим .Пример 8.Задана функция . Используя теорему о производной обратной функции, вычислить . Известно, что . Используя только что доказанную теорему и подставляя обратную функцию , получим . Видеолекция «Производная обратной функции»: