27.
Дифференцирование сложной функции
Пусть задана функция . Пусть далее аргумент этой функции является не независимой переменной , а значением другой функции . Тогда функция называется сложной функцией.Пример 1.Функция  — сложная, так как аргумент внешней функции (синуса) не независимая переменная , а значение другой функции, а именно . Однако сложная функция может быть записана и как произведение элементарных функций .Пример 2.Функция  — сложная, так как аргумент внешней функции (синуса) не независимая переменная , а значение другой функции, а именно .Пример 3.Функция  — сложная. Внешняя функция — возведение в квадрат, аргументом у функции возведения в квадрат служит косинус, в свою очередь аргумент у косинуса — корень, аргумент у корня — сумма двух элементарных функций. То есть в данном примере имеем несколько вложенных одна в другую функций.Теорема. Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в соответствующей точке , то функция имеет производную в точке и имеет место следующая формула:  .Без доказательства.Пример 4.Вычислим производную функции . Производная внешней функции (синуса) — косинус с тем же аргументом , и согласно правилу дифференцирования сложной функции производную внешней функции по ее аргументу умножаем на производную аргумента, то есть на . В итоге имеем .Пример 5.Вычислим производную функции . Аналогично предыдущей задаче .Пример 6.Вычислим производную функции . Будем последовательно применять правило дифференцирования сложной функции. Вначале вычислим производную внешней функции (возведения в квадрат) по ее аргументу и умножим на производную аргумента:.Далее вычисляем получившуюся производную, повторно применяя правило дифференцирования сложной функции, при этом множитель, не входящий под знак производной, переписываем без изменений:.Множитель, не входящий под знак производной, может быть переписан с учетом формулы для синуса двойного угла, а оставшуюся производную опять вычисляем как производную сложной функции:.Функция, стоящая под знаком производной, сложной уже не является, и вычисляем ее по правилам дифференцирования суммы двух функций. В итоге имеем:.Пример 7.Вычислим теперь производную степенной функции с произвольным значением показателя степени:.При вычислениях мы воспользовались основным логарифмическим тождеством, а именно , свойством, что показатель степени выражения, стоящего под знаком логарифма можно выносить в виде множителя перед знаком логарифма и правилом дифференцирования сложной функции.Пример 8.Вычислить .У этой функции и основание, и показатель степени являются функциями переменной , поэтому формулы для производных степенной и показательной функций здесь неприменимы. Воспользуемся следующим приемом. Обозначим , возьмем логарифм от правой и левой частей и продифференцируем правую и левую части:.Отсюда находим:.Пример 9.
.
Здесь можно было воспользоваться формулой, полученной в предыдущем примере, однако мы провели вычисления в явном виде аналогично вычислению производной степенной функции с произвольным показателем степени. Видеолекция «Дифференцирование сложной функции»: