29.
Производные и дифференциалы высших порядков
Пусть имеется дифференцируемая функция . Тогда ее производная , вычисленная в каждой точке, тоже представляет собой некоторую функцию от аргумента . Если эта новая функция дифференцируема, возьмем от нее производную . Эта производная от производной называется производной второго порядка (или для краткости второй производной). Обозначают производную второго порядка или по аналогии с обозначением первой производной (читается в первом случае «эф два штриха от икс», а во втором —«дэ два эф по дэ икс квадрат»).Далее , вычисленная в каждой точке, будет снова представлять собой некоторую функцию от . Если дифференцируема, снова возьмем от нее производную. Производная от второй производной называется производной третьего порядка (или третьей производной) и обозначается или (читается, соответственно, «эф три штриха от икс» или «дэ три эф по дэ икс куб»).Продолжая аналогично, можно определить производную любого порядка. Обозначается производная -го порядка или (читается «производная -го порядка» или «дэ эн эф по дэ икс в энтой», соответственно).Пример 1.Вычислим несколько первых производных функции : , , , и так далее периодически повторяясь.Пример 2.Вычислим несколько первых производных функции : , , , и так далее все производные будут равны нулю.Пример 3.Вычислим несколько первых производных функции : , и так далее производная любого порядка будет равна .Запишем дифференциал некоторой функции в произвольной точке : . Будем рассматривать как функцию от ( — некоторый коэффициент, не зависящий от ). Тогда дифференциал от этой функции , причем обозначают как , а как . В итоге имеем для дифференциала второго порядка (или второго дифференциала) или .Аналогично определим дифференциал третьего порядка (третий дифференциал). Второй дифференциал будем рассматривать как функцию от и найдем дифференциал от второго дифференциала . Здесь использовано обозначение , а обозначают как . В итоге имеем или .Продолжая далее, можно определить дифференциалы более высоких порядков, которые записываются в виде: или . Видеолекция «Производные и дифференциалы высших порядков»: