30.
Частные производные функции нескольких аргументов
В данном разделе будем для определенности и сокращения числа записываемых переменных вести речь о функциях с двумя независимыми аргументами. Обобщение на случай трех и большего числа аргументов достаточно очевидно.Если каждой паре чисел и (каждое из соответствующего множества и ) поставлено в соответствие некоторое число , то говорят, что определена функция двух переменных .Переменные и называются аргументами функции, а  —значением функции. Множество значений и , для которых определена функция, называется областью определения функции, а множество значений , которые может принимать функция —множеством значений.Пример 1.Издержки производства являются функцией двух независимых параметров: затрат на материалы и затрат на оплату труда работников .Пример 2.Спрос на товар является функцией двух независимых параметров: цены товара и уровня заработной платы населения .Пример 3.Функции и являются функциями двух аргументов.Аналогично функции одного аргумента, функцию двух и более аргументов можно задать аналитически в виде формулы, как в рассмотренном выше примере, а также табличным и графическим способами. В случае функции двух аргументов таблица и график будут уже иметь не плоский, а объемный (трехмерный) вид.Введем расстояние между двумя точками на плоскости и по формуле .Число называется пределом функции в точке (при , ), если для любого существует такое, что для любых , удовлетворяющих , выполнено неравенство .Обозначают предел . Данное определение является обобщением определения предела по Коши функции одного аргумента на случай двух независимых аргументов. Стоит отметить, что для существования предела функции двух аргументов предел должен получаться одинаковый вне зависимости от пути, по которому происходит приближение точки к точке .Пример 4.Определим поведение функции при , . Приближаясь к началу координат по прямой значение функции будет постоянным и равно . Таким образом, выбирая различный наклон прямых, проходящих через начало координат (различные значения ), получаем различные предельные значения функции . Это означает, что предела функции при , не существует.Так как предельное значение функции двух переменных может зависеть от пути, по которому происходит приближение точки к точке , вводят понятие повторных пределов, то есть (вначале , а затем ) или (вначале , а затем ). Фактически вычисление повторных пределов сводится к вычислению обычного предела функции одной переменной, когда другая переменная остается постоянной, а затем вычисляется предел по другой переменной.Теорема. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке предельное значение, равное . Пусть, кроме того, для любого из указанной окрестности существует предельное значение , а для любого  — предельное значение . Тогда повторные пределы и существуют и равны .Без доказательства.Пример 5.Вычислить повторные пределы функции при , ., . Очевидно, что у заданной функции не существует предела при , , так как если бы предел существовал, то в силу сформулированной теоремы должны были быть равны повторные пределы.Замечание. Для функций нескольких аргументов справедлива теорема о пределе суммы, разности, произведения и частного двух функций, аналогичная соответствующей теореме для функций одного аргумента.Функция называется непрерывной в точке , если .Пример 6.Исследуем на непрерывность функцию . Для этого вычислим предел:. Ввиду произвольности функция непрерывна в любой точке.Определим частное приращение функции по аргументу как , частное приращение функции по аргументу как и полное приращение функции как .Частной производной функции в точке по аргументу называется предел (если он существует).Частной производной функции в точке по аргументу называется предел (если он существует).Обозначают частную производную по : или , а частную производную по : или . Обратите внимание, в отличие от производной функции одного аргумента, частную производную обозначают символом , а не . Кроме того, при обозначении штрихом, в виде нижнего индекса пишут переменную, по которой берется частная производная.Замечание. При нахождении частной производной по одному из аргументов, второй (или остальные в случае более чем двух аргументов) остается постоянным, то есть вычисление частной производной сводится к вычислению обыкновенной производной, а значит, все правила вычисления производных остаются справедливыми и для частных производных.Пример 7.Найдем частные производные функции ., .Функция называется дифференцируемой в точке если ее полное приращение в этой точке представимо в виде , где и  — некоторые постоянные, не зависящие от и , а и  — бесконечно малые функции при , .Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке , то она имеет в этой точке частные производные, причем и .Доказательство. Положим в полном приращении функции . Получим частичное приращение функции . Поделив на , и перейдя к пределу , докажем теорему для частной производной . Аналогично доказывается случай существования .Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке , то она непрерывна в этой точке.Доказательство. Следует если перейти к пределу , в выражении для полного приращения функции.Теорема. Если в окрестности точки существуют частные производные функции и они непрерывны в самой точке , то функция дифференцируема в этой точке.Без доказательства.Полным дифференциалом функции в точке называется главная линейная по , часть полного приращения функции в этой точке, то есть .Здесь дифференциалами независимых переменных обозначены соответствующие приращения , . Частные дифференциалы определяются по аналогии с функцией одного аргумента: и .Теорема. Пусть функции и дифференцируемы в некоторой точке , а функция дифференцируема в соответствующей точке . Тогда сложная функция дифференцируема в точке , причем .Без доказательства.Частные производные, вычисленные в каждой точке , сами будут представлять собой функции двух переменных. Вычисляя частные производные от функции, которая сама является частной производной, можно получить частные производные второго порядка: , , и . Две последних производных называются смешанными, причем у первой из них вначале вычисляется частная производная по , а затем частная производная по . У второй смешанной производной обратный порядок вычисления. Используются также соответствующие обозначения со штрихами для частных производных: , , и .Теорема. Если функция имеет непрерывные смешанные производные в некоторой точке , то эти смешанные производные равны.Без доказательства.Пример 8.Найти частные производные первого и второго порядка функции ., , , , , . Смешанные частные производные совпадают.Пример 9.Найти смешанные частные производные второго порядка функции в точке .Вычислим производные первого порядка:.Частную производную по можно записать, если заметить, что переобозначения на , а на в исходной функции сводится к изменению знака у , а значит, и в выражении для частной производной можно заменить и и поменять знак перед выражением, то есть:.Вычисляя далее по определению вторые производные в точке , получаем:, .В данном случае смешанные производные не равны. Видеолекция «Частные производные функции нескольких аргументов»: