31.
Задачи на вычисление производных
Пример 1.Вычислить производную функции .Используем правило дифференцирования суммы и произведения табличных функций:.Пример 2.Вычислить производную функции .Используем правило дифференцирования разности и частного табличных функций:
.
Пример 3.Вычислить производную функции .Используем правило дифференцирования сложной функции. Внешней функцией является натуральный логарифм, аргумент логарифма сумма табличных функций..Пример 4.Вычислить производную функции .В этой задаче имеется несколько уровней вложенных функций. Внешняя функция — арксинус, аргумент арксинуса не независимая переменная, а значение другой функции, а именно, натурального логарифма. Этот натуральный логарифм, в свою очередь, зависит от значений другой функции . Последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, начиная от внешней, получаем:
.
Пример 5.Вычислить производную функции .Функция  — сложная, так как внешняя функция — экспонента зависит от значения внутренней функции (показатель экспоненты). Показатель экспоненты представляет собой разность двух функций. Первая из них есть произведение двух табличных функций, а вторая — сложная функция (аргументом у синуса является значение косинуса, аргументом которого, в свою очередь, является степенная функция ). Используя правило дифференцирования сложной функции, а также правила дифференцирования разности и произведения, получаем:

.
Пример 6.Вычислить производную функции .Здесь и основание, и показатель степени являются функциями от . Соответственно, использовать известные выражения для производной ни степенной, ни показательной функций нельзя. Воспользуемся основным логарифмическим тождеством и правилами операций над логарифмами, причем производную пока не берем:.В таком виде функция уже становится показательной и к ней можно применить формулу для производной показательной функции, естественно, используя при этом правило дифференцирования сложной функции:

.
Множитель преобразован обратно в .Пример 7.Вычислить производную третьего порядка от функции .Последовательно вычисляем производную первого порядка:,затем второго порядка:,и наконец, производную третьего порядка:.Пример 8.Вычислить производную -го порядка от функции .Вычислим производную первого порядка:,далее производную второго порядка:,далее производную третьего порядка:.Из проведенных вычислений видно, что при каждом дифференцировании выходит множитель , причем в производных четного порядка имеется знак «-», а в производных нечетного порядка знак «+», соответственно, знак перед выражением можно учесть множителем . Каждый раз при дифференцировании выходит степень (знак уже учтен нами): после первого и второго по 1/2, затем 3/2, 5/2 и так далее. Эти множители, как легко проверить, можно учесть выражением . И наконец, при каждом дифференцировании степень понижается на единицу, что может быть учтено множителем . Обобщая, можем записать выражение для производной -го порядка в виде:.Пример 9.Вычислить частные производные первого порядка от функции .Частные производные вычисляются так же, как и обыкновенные производные, если рассматривать другую переменную как параметр. В итоге, используя правила дифференцирования, имеем:, .Пример 10.Вычислить частные производные второго порядка от функции .Вначале вычисляем частные производные первого порядка:, .Затем выполняем повторное дифференцирование, вычислив все возможные частные производные второго порядка:, , , . Видеолекция «Задачи на вычисление производных»: