32.
Экономический смысл производной
Ранее мы рассмотрели геометрический и физический смысл производной. Так или иначе, понятие производной определяет скорость изменения одной величины (функции) при изменении другой (аргумента). Обратимся теперь к некоторым приложениям производной в экономических вопросах.Пусть имеется функция , в которой величина выражает количество произведенной продукции от начала работы, а  — время. За интервал времени будет произведено единиц продукции. Величина , вычисленная в окрестности некоторого момента времени , представляет собой среднюю за промежуток времени производительность труда в момент времени . Если мы хотим знать, как меняется производительность труда со временем, то промежуток мы должны брать достаточно малый, и в пределе . Получающаяся величина есть производная , представляющая собой производительность в некоторый момент времени.Пример 1.Пусть из некоторых статистических исследований известно, что количество выпущенной продукции со временем описывается зависимостью , где время измеряется в часах от нуля до конца смены (8 часов), а дает количество единиц выпущенной продукции. Найти производительность труда и скорость ее изменения в начале смены, в середине смены и в самом ее конце.Производительность труда определяется производной от количества выпущенной продукции , а скорость ее изменения производной от производительности, то есть второй производной . Вычислим теперь эти значения в начале смены , в середине смены часа и в конце смены часов:По значениям производной можно установить, что производительность труда в начале растет, а затем, к концу смены, падает.Теперь рассмотрим функцию , где соответствует издержкам производства, а  — количеству выпускаемой продукции. Если увеличить количество выпускаемой продукции на единиц, то на вырастут издержки. Отношение определяет средние издержки на единицу продукции. Предел представляет собой производную и называется предельными издержками. Обычно количество выпускаемой продукции составляет много единиц, то есть существенно больше единицы, и беря , мы вполне удовлетворяем условию . Тогда предельные издержки представляют собой увеличение издержек производства при увеличении количества выпускаемой продукции на одну единицу.Аналогично определяют предельный доход, предельную стоимость, предельную выручку и другие предельные величины.Пример 2.Из некоторых статистических данных получено, что зависимость издержек производства от количества выпускаемой продукции описывается формулой . Определить средние и предельные издержки при объеме продукции 5 единиц.Средние издержки определяются как денежных единиц.Предельные издержки денежных единиц.Еще одним используемым в экономике понятием, связанным с производными, является эластичность функции. Пусть имеется функция , описывающая, например, как и в рассмотренном выше примере, издержки производства, как функция от количества произведенной продукции. Эластичностью функции называется следующий предел: или, записав по-другому: .Пример 3.Пусть  —зависимость спроса на товар от величины акциза на него. Известно, что эластичность спроса относительно величины акциза равна . Рассчитать уменьшение спроса при увеличении акциза на 10%.Увеличение акциза на 10% означает, что . Согласно определению эластичности, относительное изменение спроса , то есть спрос уменьшится на 2%. Видеолекция «Экономический смысл производной»: