33.
Теоремы о дифференцируемых функциях
Теорема (Ферма). Пусть функция определена на интервале и в некоторой точке имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке существует производная, то она равна нулю, то есть .Доказательство. Пусть в точке максимум функции, тогда для всех выполняется соотношение , а значит .Если  , то и .Если  , то и .Из существования производной следует, что , а это возможно, только когда .Случай, когда в точке минимум функции, доказывается аналогично. Теорема доказана.Замечание. Геометрический смысл теоремы следующий. Если в точке максимума или минимума функция дифференцируема, то касательная параллельна оси абсцисс (см. рис. 33.1).Замечание. Обратное утверждение неверно, то есть из равенства нулю производной не следует, что в этой точке функция принимает наибольшее или наименьшее значение. Например, у функции производная , но эта точка не является ни наибольшим, ни наименьшим значением функции.Теорема (Ролля). Пусть функция определена и непрерывна на отрезке . Пусть кроме того дифференцируема на интервале и . Тогда существует точка , в которой .Без доказательства.Замечание. Геометрически эта теорема означает, что найдется точка такая, что касательная к графику функции в этой точке параллельна оси абсцисс (см. рис. 33.2).Замечание. Если условие дифференцируемости не выполняется хотя бы в одной точке, то точки может не найтись. Например, для функции на отрезке все условия теоремы, кроме дифференцируемости в точке , выполняются, но точки , в которой производная обращается в нуль , нет.Теорема (Лагранжа). Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , то найдется точка , такая, что.Доказательство. Возьмем вспомогательную функцию.Функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля: непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и . Следовательно, должна существовать точка такая, что . Дифференцируя и используя получим , что и требовалось доказать.Замечание. Геометрический смысл этой теоремы в следующем. В точке касательная к графику функции параллельна секущей, проведенной через точки и (см. рис. 33.3).Замечание. Обратное, вообще говоря, неверно. То есть, если имеется некоторая точка , это не означает, что можно будет найти две точки и по разные стороны от такие, что . Например, для функции производная в нуле , но нельзя найти точки и такие, чтобы проведенная через них секущая была параллельна оси абсцисс.Замечание. Формула называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.Теорема (Коши). Пусть функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале . Пусть, кроме того, для всех выполнено условие Тогда существует точка такая, что.Доказательство. Определим вспомогательную функцию.Функцию можно ввести, так как . Иначе по теореме Ролля нашлась бы точка такая, что . Функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля: непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и . Следовательно, должна существовать точка такая, что . Дифференцируя и используя , получим , что и требовалось доказать. Видеолекция «Теоремы о дифференцируемых функциях»: