34.
Правило Лопиталя
Теорема (Лопиталя). Пусть функции и определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки . Пусть далее и всюду в указанной окрестности точки . Тогда, если существует предел отношения производных (конечный или бесконечный), то существует и предел , причем:.Доказательство. Пусть  — произвольная последовательность, такая, что , . Доопределим и в точке так, чтобы . Тогда очевидно, что эти функции непрерывны на и дифференцируемы на , начиная с некоторого номера . Следовательно, по теореме Коши имеем: , где . Поскольку , получим , где . Так как при , то при . По условию теоремы существует, следовательно, существует и предел . Используя определение предела функции по Гейне, получаем . Теорема доказана.Замечание. При раскрытии неопределенности вида правило Лопиталя остается в силе.Замечание. Если правило Лопиталя применить к пределу, не образующему неопределенности вида или , то получится, вообще говоря, неверный результат.Замечание. Если также дает неопределенность, то правило Лопиталя применяют повторно.Пример 1.. Видеолекция «Правило Лопиталя»: