37.
Монотонность функции
не убывает (не возрастает) на интервале 
, если для любых точек 
из этого интервала выполняется неравенство 
(
).Теорема. Если функция дифференцируема на интервале и во всех точках этого интервала 
(
), то функция не убывает (не возрастает) на .Доказательство. Пусть 
, и пусть 
и 
— две произвольные точки, принадлежащие интервалу , причем 
. По теореме Лагранжа
, 
, где 
. Так как 
, то 
, то есть функция не убывает. Аналогично доказывается не возрастание функции для случая 
. Теорема доказана.Замечание. Точно так же можно доказать, что, если выполнено условие 
, то функция возрастает (убывает).Пример 1.Определить области монотонности функции 
.
возрастает на всей числовой оси.Пример 2.Определить области монотонности функции 
(n — натуральное число).
- Если n четное, то
при 
и 
при 
. Следовательно, при функция убывает, а при возрастает. - Если n нечетное, то
при 
. Следовательно, функция возрастает на всей числовой оси за исключением точки 
.
на интервалах 
функция убывает, а на интервалах 
функция возрастает.Пример 4.Определить области монотонности функции 
.
Пример 5.Определить области монотонности функции 
.
функция возрастает на всей числовой оси.Пример 6.Определить области монотонности функции 
.
Видеолекция «Монотонность функции»:
, 
, 
функция возрастает.
