37.
Монотонность функции
Будем говорить, что функция не убывает (не возрастает) на интервале , если для любых точек из этого интервала выполняется неравенство ().Теорема. Если функция дифференцируема на интервале и во всех точках этого интервала (), то функция не убывает (не возрастает) на .Доказательство. Пусть , и пусть и  — две произвольные точки, принадлежащие интервалу , причем . По теореме Лагранжа, , где . Так как , то , то есть функция не убывает. Аналогично доказывается не возрастание функции для случая . Теорема доказана.Замечание. Точно так же можно доказать, что, если выполнено условие , то функция возрастает (убывает).Пример 1.Определить области монотонности функции . возрастает на всей числовой оси.Пример 2.Определить области монотонности функции (n — натуральное число).
  1. Если n  четное, то при и при . Следовательно, при функция убывает, а при возрастает.
  2. Если n  нечетное, то при . Следовательно, функция возрастает на всей числовой оси за исключением точки .
Пример 3.Определить области монотонности функции. на интервалах   функция убывает, а на интервалах   функция возрастает.Пример 4.Определить области монотонности функции .
  1. , функция возрастает.
  2. , функция убывает.
Пример 5.Определить области монотонности функции . функция возрастает на всей числовой оси.Пример 6.Определить области монотонности функции .
  1. , функция возрастает.
  2. , функция убывает.
  3. , функция возрастает.
 Видеолекция «Монотонность функции»: