38.
Экстремум функции
Точка называется точкой локального максимума функции, если для всех из некоторой окрестности точки выполнено неравенство при .Точка называется точкой локального минимума функции, если для всех из некоторой окрестности точки выполнено неравенство при .Локальный максимум или локальный минимум называют локальным экстремумом.Замечание. Слово «локальный» в определениях максимума и минимума означает, что это максимальное (минимальное) значение в достаточно малой окрестности. Вообще же локальный максимум может и не быть наибольшим значением функции на интервале . То же касается и локального минимума. Более того, некоторый локальный максимум может быть расположен ниже, чем некоторый локальный минимум и т.п.Теорема (необходимое условие локального экстремума). Если функция имеет в точке локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то .Доказательство. Если  — точка локального экстремума, то в некоторой её окрестности значение является максимальным либо минимальным. По теореме Ферма в этой точке . Теорема доказана.Замечание. Обратное утверждение неверно, то есть из того, что не следует, что точка является точкой локального экстремума. Например, для функции производная , но в точке локального экстремума нет. Точка , в которой производная обращается в нуль , называется точкой возможного локального экстремума.Теорема (1-ое достаточное условие локального экстремума). Пусть точка является точкой возможного локального экстремума функции и пусть функция дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки . Тогда, если в пределах указанной окрестности производная положительна (отрицательна) слева от точки и отрицательна (положительна) справа от точки , то функция имеет в точке локальный максимум (минимум). Если же производная имеет один и тот же знак слева и справа от точки , то экстремума в точке нет.Доказательство. По теореме Лагранжа, , где точка находится между и .Если при , то для имеем .Если при , то для имеем .Другими словами в точке  — локальный максимум.Аналогично доказывается достаточное условие локального минимума.Если имеет равные знаки слева и справа от точки , то по формуле Лагранжа получим, что имеет соответственно разные знаки слева и справа от точки , то есть локального экстремума нет. Теорема полностью доказана.Пример 1..Вычислив производную, найдем , , , . Следовательно, в точке  — локальный минимум.Пример 2..Вычислив производную, найдем , , . Следовательно, в точке  — локального экстремума нет.Теорема (2-ое достаточное условие локального экстремума). Пусть функция имеет в точке (точке возможного экстремума) вторую производную. Точка является точкой максимума (минимума), если ().Без доказательства.Пример 3.Из прямоугольников заданного периметра найти тот, площадь которого максимальна.Обозначим стороны прямоугольника и . Периметр прямоугольника равен , а его площадь —. Выразив и подставив в выражение для площади, получим . Найдем максимум функции . Производная обращается в нуль при . Вторая производная , то есть значение действительно дает максимальную площадь, при этом . При заданном периметре максимальной площадью обладает квадрат.Пример 4.При заданной площади поверхности консервной банки найти наибольший объем.Обозначим через  — радиус крышки консервной банки, а через  — высоту консервной банки. Тогда площадь поверхности равна , а объем —. Выразив и подставив в выражение для объема, получим . Найдем максимум функции . Производная обращается в нуль при . Вторая производная , то есть значение действительно дает максимальный объем, при этом . Сама величина максимального объема равна .Пример 5.Найти экстремальные значения функции (см. рис. 38.1).Вычислив производную и приравняв ее к нулю найдем две точки возможного локального экстремума и . Вторая производная в точках возможного локального экстремума имеет значения и . Следовательно, точка  — точка локального максимума (), а точка  — точка локального минимума (). Видеолекция «Экстремум функции»: